5.平面向量数量积.docVIP

第五讲 平面向量的数量积及运算律 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180? 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?， （０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 ?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定 （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0因为其中cos?有可能为0 （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 3．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b| 4．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1?e?a = a?e =|a|cos? 2?a?b ? a?b = 0 3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b| 特别的a?a = |a|2或 4?cos? = 5?|a?b| ≤ |a||b| 6. 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b) 3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 7.平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，试用和的坐标表示 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 ， 所以 又，， 所以 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 8.平面内两点间的距离公式 （1）设，则或 （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 9.向量垂直的判定 设，，则 10.两向量夹角的余弦（） cos? = 例1 判断正误，并简要说明理由 ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２ 例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ 例3 已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求· 例4 （1）已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a与b的夹角 （2）设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角 例5 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 例6 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形? 例7 设 = (5, ?7)， = (?6, ?4)，求? 例8 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值 例9 已知 = (3, ?1)