2如何求椭圆离心率.docxVIP

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　如何求椭圆的离心率 1．由椭圆的定义求离心率 例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 解析　如图所示，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (ab0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c， |AF1|＝2c·sin 60°＝eq \r(3)c. ∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(eq \r(3)＋1)c. ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1. 答案　eq \r(3)－1 点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决． 2．解方程(组)求离心率 例2　椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (ab0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为eq \f(b,\r(7))，则椭圆的离心率e＝________. 解析　如图所示，直线AB的方程为eq \f(x,－a)＋eq \f(y,b)＝1， 即bx－ay＋ab＝0. ∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为eq \f(b,\r(7))，∴eq \f(b,\r(7))＝eq \f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))， ∴eq \r(7)|a－c|＝eq \r(a2＋b2)，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2. 又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0. 两边同除以a2并由e＝eq \f(c,a)知，8e2－14e＋5＝0， 解得e＝eq \f(1,2)或e＝eq \f(5,4)(舍去)． 答案　eq \f(1,2) 3．利用数形结合求离心率 例3　在平面直角坐标系中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________. 解析　如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB. 又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB， 则四边形OAPB是正方形， 故OP＝eq \r(2)OA， 即eq \f(a2,c)＝eq \r(2)a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 答案　eq \f(\r(2),2) 4．综合类 例4　设M为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率． 解　由正弦定理得eq \f(2c,sin 90°)＝eq \f(|MF1|,sin 15°)＝eq \f(|MF2|,sin 75°) ＝eq \f(|MF1|＋|MF2|,sin 15°＋sin 75°)＝eq \f(2a,sin 15°＋sin 75°)， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,sin 15°＋cos 15°)＝eq \f(1,\r(2)sin 60°)＝eq \f(\r(6),3). 点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝eq \f(cos \f(α＋β,2),cos \f(α－β,2)).