2013年春季学期线性代数试题A.docVIP

中国海洋大学 2013年 题号 得分 表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，是的元素的代数余子式. 一、填空 （18分） 1、 2、设是3维列向量，记， ，若，则 ； 3、设向量组（I）；（II））） ）） 4、设阶方阵的一个特征值为，与其对应的特征向量，则方阵的个元素之和为 ； 5、若阶矩阵的特征值为，则 ； 授课教师命题教师或命题负责人签字 《线性代数》课题组 院系负责人 签字 年 月 日 数学科学学院 线性代数试题(A卷) 共 3 页 第 2 页 6、设均为阶可逆矩阵，是阶矩阵, 且，则 ； 二、选择题 （18分） 1. 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第2列的加到第1列得，记，则（ D ） （A） (B) (C) （D）. 2. 设均为阶矩阵,　且，则必有（ ）； A．或 　 B． C．或 D．两矩阵与中，至少有一个为奇异矩阵 3. 维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为（ ） 可由向量组线性表示 B．向量组可由向量组线性表示 C．向量组与向量组等价 D．矩阵（）与矩阵（）等价 4. 设为矩阵，则线性方程组为有解的充分条件是（ ） A．是行满秩的 B．是列满秩的 C．的秩小于的行数 D．的秩小于的列数 5. 与矩阵不相似的矩阵是( ) A． B． C． D． 6. 已知是某个齐次线性方程组的一个基础解系，则（ ） A．线性无关 B．线性相关 C．线性相关 D．不是方程组的一个基础解系 三、（24分） 1.设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为3阶单位矩阵,求. （4分） 2. 设是的一组基，求到的过渡矩阵. （6分） 3. 设为矩阵，为矩阵，若，求证：。（5分） 4.设的伴随矩阵且，求.（8分） 四、（12分） 1、设向量组…,线性无关，试讨论向量组 …, 的线性关系.（6分） 2、已知均为阶矩阵，且，证明.（6分） 数学科学学院 线性代数试题(A卷) 共 3 页 第 3 页 五、（15分）设，已知线性方程组有无穷多个解 求：（1）； (2)的一般解. 六、(15分) 设二次型 . （I）求二次型的矩阵的所有特征值. (II）若二次型的规范形为，求的值. 求正交变换，利用正交变换法将化为标准型. 已知，二次型 的秩为2. 注：. （1）求实数的值； （2）求正交变换，利用正交变换法将化为标准型. 设为3阶方阵，将的第1行加到第2行得矩阵，再交换的第2列与第3 列得单位矩阵，记,则（ B ） (A) (B) (C) (D) 设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵； 4阶行列式 的值等于（ ）． A． B． C． D． 计算 已知齐次线性方程组有非零解，则与满足( )； A．或 B．或 C． D． 计算 设是阶矩阵，是线性无关的维列向量组，是阶可逆矩阵，，且，则可取为（ ） A． B． C． D． 设都是阶方阵，且可逆．下列各式中，不对的是（ ） A． B． C．D． 设是3阶方阵，且，为的伴随矩阵，求． 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则 线性无关的充要条件是（ B ） A． B． C． D． (2011)设3维向量组，，不能由，，线性标出。 求：(Ⅰ)求； (Ⅱ)将，，由，，线性表出. (2010) 设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为,求， (2009) 设二次型 . （I）求二次型的矩阵的所有特征值. (II）若二次型的规范形为，求的值. 求正交变换，利用正交变换法将化为标准型. （15分）设，已知线性方程组有无穷多个解 求：（1）； (2)的一般解. 设3维向量组，，不能由，，线性标出。 求：(Ⅰ)求； (Ⅱ)将，，由，，线性表出. 已知为三阶实矩阵，，且， 求：(Ⅰ) 求的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求 设， 已知线性方程组存在2个不同的解 （Ⅰ）求， （Ⅱ）求方程组的通解 设二次型 . （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值. （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值. （6）设则在实数域上域与合同的矩阵为（ ） （A）.