2013届高三数学第1轮复习第11章计数原理.docVIP

第十一章 计数原理 本章知识要点 【考纲要求】 1. 分类与分步计数原理、排列组合以及二项式定理都为级要求． 2．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它分析和解决一些简单的应用问题；理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数计算公式以及组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题；掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 3．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现． 【知识回顾】 1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有＝ 种不同的方法． 2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做步有种不同的方法，那么完成这件事共有＝ 种不同的方法． 3．一般地说， __________________，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 4． ______________________，叫做从个为不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．排列数公式＝ ．这里，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是 ． 5． ，叫做个不同元素的一个全排列，全排列数用______表示，它等于自然数从1到的连乘积，也称为 的阶乘，用 表示． 6．一般地说，____________________________________________，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 7．排列与组合的共同点:___________________________，而不同点___________________. 8.______________________________________，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．组合数公式＝ ____＝ ． 9．组合数性质： ① ② ③ ④ ⑤ 10．＝ _______()，的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用表示，即通项公式＝ 是表示展开式的第项． 11．二项式定理中，二项式系数的性质有： ① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：. ② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当是偶数时，是奇数，展开式共有项，中间一项，即： 第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ． ③ 二项式系数的和等于 ，即 ． ④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ． 【方法回顾】 例1．个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾， （3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人， （5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻）， （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序， 解答：分析：(1)有特殊元素或特殊位置优先考虑；（2）元素必须相邻---捆绑法；（3）元素不相邻---插空法（4）元素有顺序限制---除序法． （1）甲固定不动，其余有，即共有种