2012年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题和答案.docVIP

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛） 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合，，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，，则“”是“在上恒成立”的（ ） A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设, ，则=（ ） A 、 B 、 C、 D 、2 5、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ） A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形的边长为3，为的 中点，与相交于，则的值是 ． 8、的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答） 9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 ． 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ． 11、已知锐角满足，则的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 ． 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、设函数， （I）求函数在上的最大值与最小值； （II）若实数使得对任意恒成立，求的值． 14、已知，满足， （I）求的最小值； （II）当取最小值时，求的最大值． 15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和 的中点，求直线在轴的截距的取值范围． 16、设函数在上的最大值为（）． （I）求数列的通项公式； （II）求证：对任何正整数，都有成立； （III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立． 2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、 8、 9、0 10、14 11、 12、 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I）由条件知， （5分） 由知，，于是 所以时，有最小值； 当时，有最大值． （10分） （II）由条件可知 对任意的恒成立， ∴ ∴ ∴ , （15分） 由知或。 若时，则由知，这与矛盾！ 若，则（舍去），， 解得，所以，． （20分） 14、解：（I）因为 （5分） ，等号成立的条件是， 当时，可取最小值2． （10分） （II）当取最小值时，，从而， 即，令，则 （15分） 从而或者（舍去） 故 在单减， 所以在时，有最大值． （20分） 15、解：将直线与双曲线方程联立得 化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分） 由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分） 设，则有， 故的中点为， 所以直线方程为，其在轴的截距，（15分） 当时，，其取值范围是 所以的取值范围是． （20分） 16、解：（I）， 当时，由知或者， （5分） 当时，，又，，故； 当时，，又，，故； 当