边界元法的若干进展和它在固体力学中的应用精要.pptVIP

边界元法的若干进展和它在固体力学中的应用 清华大学工程力学系 姚振汉 引 言 弹性力学的三种提法 边界元发展历史回顾 边界积分方程－边界元法 有限元法（1955，56）之后发展起来的一种精确高效的工程数值分析方法 在固体力学领域有限元法最重要的补充 边界元法间接法 位势问题（Smith Pierce, 1958) 弹性力学（Massonet，1965） 边界元法直接法 位势问题（Jaswon，1963） 弹性力学（Rizzo，1967） 边界元发展历史回顾 1994－2003被SCI收录的论文 与边界元法有关的有3904篇 与有限元法有关的为16823篇 1990－2002被EI收录的论文 与边界元法有关的有19968篇 与有限元法有关的为75184篇 与断裂力学有关的为23647篇 在工程应用方面 在应用最多的部门也从未超过有限元法的十分之一 研究组边界元研究历史回顾 我们研究组边界元法研究开始于1979年 基于弹性力学问题Rizzo型边界积分方程－边界元法研究了弹性应力集中问题和薄板弯曲问题 研究了边界元－有限元耦合方法 研究了边界元法在形状优化缺陷识别等逆问题中的应用 Galerkin对称边界元法用于结构极限与安定分析等问题 研究了精确高效的计算方法，提出了边界元法误差的一种直接估计。 对于弹性接触问题，提出了单元与单元间协调的接触方案，研究了二维、三维移动、滚动接触。 研究组边界元研究近年工作 2000前后针对复合材料，对于含随机分布大量夹杂的二维弹性固体提出了一种重复相似子域边界元法，计算了100多个夹杂、近万自由度的问题。 研究了在微机机群上的并行算法。2000年在由8台微机组成的机群上最大计算规模45,000自由度。 近年来多极快速算法在边界元法中的应用给边界元法解决复杂工程与科学问题展示了广阔的前景。 用于含随机分布夹杂二维、三维弹性体数值模拟，一台微机可计算数十万自由度的问题，在微机机群并行系统最大的二维算例有800万自由度。 计算了含16384条随机分布裂纹的二维无限弹性体，1,572,864自由度，研究了相应的裂纹扩展问题。 弹性力学边界积分方程 弹性静力学的边界积分方程 其中 弹性力学边界元法 将边界分成边界单元 在每个单元上将边界变量插值离散 可得 将弱解代入方程得到误差 对于加权余量法的配点格式，权函数采用Dirac-delta函数，要求 即得 将方程写成矩阵形式，得 其中H，G矩阵元素由核函数与形函数在单元上的积分求得。 将边界变量列矢量 U，T 按未知量与给定量重新排列，可得边界元法的求解代数方程组 即 核函数与形函数乘积在单元上的积分 矩阵元素都是核函数与形函数乘积在单元上的积分，矩阵是满阵。 主要计算量就是计算这些积分，以及求解满阵代数方程组。 对于规模不太大的问题，计算积分的工作量是主要计算量。 非奇异积分采用等精度高斯积分格式求积，高斯点数由精度要求对不同情况自动确定。 当核函数的源点落入积分单元时出现奇异积分，包括弱奇异积分和柯西主值积分。 边界元法的优缺点 边界元法与有限元法及其它数值方法相比较的优缺点 优点：高精度（由于采用了解析基本解） 降低了维数，便于模拟复杂边界形状 对于高梯度、甚至有奇异性的问题，不仅有较高的精度，而且在同等精度条件下有较高效率 适合于处理无限域、半无限域问题 适合于处理弹性接触等边界条件非线性问题 缺点：适用范围远没有有限元法广泛 解题规模受限制（方程系数矩阵为满阵） 对于域内方程非线性问题优势减弱或丧失 边界元法的特点 早期有的文章通过简单算例高估了边界元法的计算精度，声称能达到0.01%，甚至更高。 这里要分两类问题，一类是没有离散误差的问题，称为简单问题，离散插值的边界变量能精确满足给定边界条件，此时能达到很高精度，例如10－6，甚至10－8。 对于一般问题，有离散误差，只有合理划分足够多的边界单元，才能达到要求的计算精度。 薄板梁纯弯曲问题，只要采用二次单元，就是一个简单问题。 通常认为细长薄板梁要划分较多单元才能达到满意精度，我们只用4个二次元，就达10－4精度。 边界元法的特点 有限元法中单元边长比不能太大，相邻单元尺寸也不能相差太大。 边界元法则并不受此限制，上述100:1纯弯薄板梁相邻单元长度比为100，只要保证积分精度等运算精度，还是可以得到高精度的结果。 有限元法中高斯积分通常只用1－2，或2?2个高斯积分点。 边界元法常采用等精度高斯积分，根据给定积分精度要求来确定用多少高斯点。对于上述细长薄板梁的算例，源点在边长为1的短边中点、在长边二次单元上的积分，需要50－60个高斯点进行高斯积分。 边界元法的特点 边界元法在解出未