研究生数值分析插商与牛顿(Newton)插值多项式.pptVIP

* * 构造拉格朗日插值多项式 其形式具有对称性，即便于记忆， 必须全部重新计算。 插商与牛顿(Newton)插值多项式 由于公式中的 都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时， 又便于应用与编制程序。 这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。 ，即 其中系数 可由插值条件 记为 ⑧ 为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式 确定。 定义1 设函数f(x)在点 为f(x)在点 处的一阶差商，记为 ，即 称一阶差商的差商 （ 为f(x)在 处的二阶差商，记为 上的值依次为 称 互异） 为此我们引入差商概念： 一般地，称 m-1 阶差商的差商 为 f(x) 在点 特别地，规定零阶差商 处的m阶差商。 即 为便于应用，通常采用差商表，例如 三阶差商 二阶差商 一阶差商 性质1 k阶差商 是由函数值 线性组合而成的，即 性质2 差商具有对称性，即在k阶差商 中任意调换2个节点 和 差商有如下性质： 的顺序，其值不变。 性质3 k阶差商 和 k 阶导数 之间有如下重要关系： 有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。 由插值条件 ，可得 由插值条件 ，可得 由插值条件 ，可得 一般地，可以证明有 于是，满足插值条件 的n次牛顿插值多项式为 例3 已知函数表 … 13 12 11 10 … … 169 144 121 100 … 试用牛顿线性插值与抛物线插值求 的近似值，并估计截断误差。 解：先构造差商表，取 13 169 0.040000 -012 144 0.0000003138 0.043478 -011 121 0.047619 10 100 三阶差商 二阶差商 一阶差商 由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为 牛顿线性插值多项式为 牛顿抛物线插值多项式为 所求近似值为 所求近似值为