大学文科数学1要点.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4.对数函数 对数函数是指数函数y = ax的反函数, 定义域为(0,+?),图形通过(1, 0)点, 当 a1 时, 函数单调增加； 当 0a1时, 函数单调减少。 对数的基本性质： 换底公式 对数恒等式 5.三角函数 正弦函数 余弦函数 y = sin x与y = cos x的定义域均为(-?, +?)，均以2p为周期。y = sin x为奇函数，y = cos x为偶函数。它们都是有界函数。 定义域: x?(2n+1)p/2 。 周期: p 。奇函数。 正切函数 定义域: x?np。 周期: p 。奇函数。 余切函数 正割函数 余割函数 6.反三角函数 定义域： 值域： 单调增加函数； 奇函数. 定义域： 值域： 单调减少函数； 无奇偶性. x y 定义域： 值域： 单调增加函数； 奇函数. 反余切函数 x y 定义域： 值域： 单调减少函数； 无奇偶性. 反三角函数值的确定： 求 arcsin x 值的方法： 例1 例2 类似地有 2.4 复合函数 例如： 可看作由 复合而成。 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 不能复合。 和 u 称为中间变量。 注意复合次序： 复合可以多次进行。 例1 例2 的复合。 重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。 例3 例4 例5 (1) 解 (2) 例6 解 所以 于是 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数. 二、初等函数 例如， 等等。 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数. 例1 是初等函数吗？ 利用对数恒等式 解 是初等函数。 一般地， 幂指函数 也是初等函数： 例2 分段函数是初等函数吗？ 解 不是初等函数； 符号函数 是初等函数，因为 分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一种形式，不是函数的新类型。 例3 复利问题 如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 这也是分段函数，其定义域为 y O x 1 1 -1 2 -2 -1 解 例3 1) 符号函数 几个分段函数的例子. 2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过x的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -3 x y o 1 2 3 4 o 有理数点 无理数点 ? 1 x y 3) 狄利克雷函数(Dirichlet) 函数的几种基本特性 一、有界性 M -M b a 则称函数 有界。 b a 函数的有界性还可以细分为： 则称函数 f(x) 在I上下有界 . M2 M1 M1称为 f(x) 在I上的下界。 M2称为 f(x) 在I上的上界。 定理：函数 f(x) 有界当且仅当 f(x) 上有界且下有界。 则称函数 f(x) 在I上上有界 . 因为存在 M=1，使对任意x?(-?,+?)，有|sin x|?1，所以 y = sinx是(-?,+?)内的有界函数。 y = sinx 有界吗? 二、单调性 例如, 函数 y = x 3 在(-?, +?)内单调增加。 而函数 y = x 2 在区间(-?, 0)内单调减少；在区间(0, +?)内单调增加。 三、奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 例2 是偶函数；而 是奇函数。 证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和： 偶函数的图形关于 y 轴对称。 y x o x -x 具有奇偶性的函数的图形有某种对称性： y x o x -x 奇函数的图形关于原点对称。 例3 解 故 f(x) 是偶函数. 2 -1 1 四、周期性 (通常周期函数的周期是指其最小正周期). 注意：并非任意周期函数都有最小正周期. 如狄利克雷函数 任何正有理数都是它的周期, 但并不存在最小的正有理数。 2.2 逆向思维的一例 —— 反函数 定义 设函数y=f (x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个 y?Z，存在唯一x?D，使 f (x)=y，则 x是一个定义在Z上的函数，称为 y =f (x) 的反函数，记为x =f -1(y)。 函数y =f (x)与函数x =f -1(y