固体物理答案 第3章.docVIP

3．1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为： 为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为。具体计算每个原子的平方平均位移。 解：（１）根据 其中为振动周期， 所以 第j个格波的平均动能 经典的简谐运动有： 　每个格波的平均动能＝平均势能＝格波平均能量＝ 振幅，　所以　。 而每个原子的平方平均位移为： 。 ３．２讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为），其２N个格波的解。当时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链：　　 声学波： 当时，有 　。 光学波： 当时，有 　。 （２）一维双原子链在时的解　 与一维单原子链的解　 是一一对应的。 3．5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数平衡离子间距?。 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量只值进行比较。 解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差的二次方项。 （1） 其中 为平衡条件。 由已知可确定： 。 （2） 根据（1）式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为： （3） 故恢复力常数为。 （4） 对于离子晶体的长光学波， （5） 将Na 的原子质量, Cl的原子质量， 基本电荷电量 代入上式，得 相对应的电磁波波长为 （6） 对应与远红外波，与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。 [注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子 牛顿米2/库仑 ] 3．6 求出一维单原子链的频率分布函数。 解：一维单原子链的色散关系为： ， 其中 , 振动模式的数目： 所以 3．7设三维晶格的光学振动在附近的长波极限有： 求证：频率分布函数为 证明：由， 得。 故频率分布函数为 3．8有N个相同原子组成面积为的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于。 解：（1）空间的状态密度为。 每个对应一个纵波，， 每个对应一个横波，。 所以范围的状态数应包括纵波和横波的状态数： 其中 由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由 决定。由此得。 比热 令， , —德拜温度。 。 （2）在低温极限 ， ， ， 与三维情况下的德拜律相对应。 3．10设晶体中每个振子的零点震动能，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 解： 根据德拜理论，，可得晶格频率分布函数为 。 存在，在范围的振动都可用弹性波近似，则根据自由度确定如下： 。 或。 因此固体总的零点振动能为 。 3．11一维复式格子，，（即，求： 光学波，， 声学波。 相应声子能量是多少电子伏特。 在300时的平均声子数。 与相对应的电磁波在什么波段。 解：（1） （2） （3）在相应的能量： 因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为 （4）。此波长处在红外波段。