梯形中常见辅助线添法.docVIP

浅析梯形的辅助线 宣威市羊场镇初级中学 张荣芝 梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法．添辅助线(一)与腰有关的辅助线例1、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=12，∠C=60°，求AB的长. (1)梯形内平移一腰 ∵AD∥BC ∴四边形ABED是平行四边形 ∴AD=BE=4 ∴EC=BC-BE=8 ∵AB=CD ∴DE=DC ∴∠C=60° ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 (2)梯形外平移一腰∵AD∥BC ∴四边形ABCE是平行四边形 ∴AB=CE ∵AB=CD ∴CD=CE ∵AD∥BC，∠C=60° ∴∠CDE=60° △CDE是等边三角形 ∵AD=4，BC=12 ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 (3)延长两腰∵AD∥BC，AB=CD，∠C=60°， ∴∠B=∠C=60° ∠EAD=∠EDA=60°. ∴△EBC和△EAD都是等边三角形. ∵AD=4，BC=12∴EA=4，EB=12. ∴AB=EB-EA=12-4=8. (4)平移两腰： 例2、 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。 分析：由条件 ,我们通过平移AB 、 DC ；构造直角三角形EGH,使EF 恰好是RT△EGH 的中线． 解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH是直角三角形 因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点 所以 小结：平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形． (二)与高有关的辅助线 例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=12，∠C=60°，求AB的长. 解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F∵AD∥BC ∴AE=DF，四边形AEFD是矩形 ∴AD=EF=4 ∵AB=DC ∴Rt△ABE≌Rt△DFC（HL） ∴BE=FC ∴2CF=BC-EF=12-4=8 ∴CF=4 ∵∠C=60° ∴∠CDF=30° 在Rt△DFC中，DC=2CF=8 ∴AB=8 例4、如图，已知在直角梯形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE 分析：这是一个直角梯形，对于直角梯形的题目通常我们会通过添加辅助线高来完成题目，作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，从而达到证明CD=CE的目的。 证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F（这是直角梯形中常见的辅助线） 　　 在△CFB和△AEB中，　　 　　∴△CFB≌△AEB（AAS）（构造三角形证明三角形全等） 　　∴CF=AE． 　　∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD， 　　∴AD=CF， 　　∴AD=AE． 在Rt△ADC和Rt△AEC中， 　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL） 　　∴CD=CE． 说明：以上两题主要考查两种特殊梯形：等腰梯形和直角梯形的常见辅助线——作高的运用，以及梯形和三角形全等的综合运用。在例4的直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的。 (三)与对角线有关的辅助线． ()连接对角线例5、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC．求证：AC=CE 分析：在等腰梯形中出现了对角线及有关的已知条件，让我们不由联想到它的性质定理2：等腰梯形的对角线相等。 解：如图，连结BD， 　 　∵DC∥BE，DC=BE， 　 　∴四边形DCEB是平行四边形， （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 　　 ∴DB=CE． 　 　又∵四边形ABCD是等腰梯形， 　　 ∴AC=BD，（等腰梯