矩阵方程A TXB—C的正交反对称解及其最佳逼近.pdf

北京石油化工学 院学报 第 18卷 第 2期 Vo1．18 NO．2 JournalofBeijingInstituteof 2010年 6月 Jun．2O10 Petro—chemicalTechnology 矩阵方程A了 --C的正交反对称解 及其最佳逼近 章联生 (北京石油化工学院数理系，北京 102617) 摘 要 讨论 了约束矩阵方程问题 ，其理论在 自动控制、经济、振动理论 以及土木工程等领 域有着广泛的应用 。通过广义奇异值分解定理，得到了矩阵方程 AXB—C(AER ，B∈R ，CE R )的正交反对称解存在 的一个充要条件及其通解表达式，并导出了该矩阵方程与 已知矩阵最佳逼近 的正交反对称解和最小范数解 。 关 键 词 矩阵方程 ；正交反对称矩阵；最佳逼近解 中图法分类号 0175．13 约束矩阵方程问题是指在满足一定条件下 ll·ll表示由内积导出的范数 即Frobenius范 的矩阵集合中求给定矩阵方程解 的问题 。不同 数 ，A*B表示矩阵A与 B．的 Hadamard乘积。 的约束条件、不 同的矩阵方程均构成不同的约 定义 设 x∈R ”，给定 PESOR ”，若 x 束矩阵方程问题 。约束矩阵方程问题的理论在 满足 x一一PXP，则称 x为P 正交反对称矩 控制论、信息论、振动理论 、系统识别 、结构动力 阵。所 有 P 正 交 反 对称 矩 阵 的全 体 记 为 模型修正和 自动系统模拟等领域都有着重要的 R2 (P)一 {X∈R ”lX一一PXP}。 应用 。正是这些领域中提 出的不同类型的问题 对于 P反 自反 矩 阵 有 许 多特 殊 的性 刺激着约束矩 阵理论 的快速发展，使得约束矩 质 ，在工程和科学计算方面有广泛 的应 阵方程问题成为当今应用数学 中最活跃 、最热 用 [1315]。对于矩阵方程 AXA—B (其 中A∈ 门的研究课题之一 。 R ，B∈R 为 已知)，文献[1—3]中详尽地 目前约束矩阵方程涉及到的矩阵方程主要 讨论矩阵方程 A XA—B在R ”上 的一般解 、 有 AX—B，A XA—B，A XA—B，A XB—C， 对称解和对称正定解的充要条件 ；文献[4]中讨 A”XB—C，… ，另外还有一些矩 阵方程 组。约 论 了它有 中心对称解的充要条件及通解表达 束矩阵方程 问题涉及两个主要方面：一是理论 式 ，并给出了它与 已知矩 阵的最佳逼近解 ；文 上 的可解性 ，即从理论上寻求 问题有解 的充要 献[5]中给出它的对称正交对称解及其最佳逼 条件；二是实际上的可算性 ，即从算法上实现问 近解 ；文献 [6]中给出了方程 AX=c的 自反解 题 的解 。 和反 自反解 ，文献[7—8]中给出了方程AXB— 设 R 表示所有n×m实矩阵集合 ，J表 C(其 中A∈R ，B∈R ，c∈R 为已知)的 示n阶单位矩阵， 表示矩阵A 的转置矩阵， 对称解和正交对称解 。 rank(A)表示矩阵 A 的秩，R： 一 {XER l 笔者考虑方程A