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Contents of Complex variables
第一讲 复变函数与解析函数
关于复数的几个概念复习：
1） 复数序列 z
{ }
n
2) 聚点 : 给定序列 z ， ∃复数 z ， ∀ε0 ，恒有无穷多个 zn 满足
{ }
n
z −z ε，则称 z 为 z 的一个聚点（或极限点）。
n { }
n
一个序列可以有不止一个聚点。
对实数序列 x 可以定义上极限 和下极限 x 。
{ } limx lim n
n n
x →∞
x →∞
3) 有界序列: 给定序列 z ，if ∃M 0 ，使∀n ，都有 z M ，则序列称为
{ } n
n
有界的，否则为无界的。
4) 序列极限存在的柯西充要条件: 给定序列 z ，对∀ε0 ，∃ ，使
{ } N ε 0
n ( )
对于任意正整数 p ，有 zN +p −zN ε 。
1. 函数 complex functions
1.1 定义
复变函数就是自变量为复数的函数：
w z f z u x, y +iv x, y
( ) ( ) ( ) ( )
一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合。有单值函数和多值函数之别。
1.2 区域 （Regions in the complex plane ）
开区域 G ：由边界线L 围的区域，不包括边界L
闭区域G ：开区域G ＋边界线L ＝G
① 点 a 的ε邻域（ε neighborhood ）
② 内点(an interior point)
③ 边界点(a boundary point)
④ 外点(an exterior point)
单连通区域(simply connected domain)
复连通域（Multiple connected domain ）
边界的方向性：若区域恒保持在边界左方，此走向为边界正向。
1.3 复变函数的极限和连续
复变函数的极限性质是实变情况的推广，实变函数中有关的运算规则和讨论
在这里均成立。
1
2 复变函数的导数 The derivative of a complex function
2.1 导数 Derivative
设w f z 是在区域 G 中定义为单值函数，有 f ′z lim Δw dw
( ) ( )
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