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4_cardinals 3.11
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● /home/yangch8@/DM
集合的势
Cardinality of Sets
中山大学杨超
yangch8@
● 集合的势是集合元素个数的推广。
等势
● 定义:设集合A 和B 是两个集合。若存在从A
到B 的一个一一映射(双射),就称集合A 和B
等势 。又称A 和B 具有相同的势( 基数 ,记作
● |A|=|B|
●
●
● 如自然数集N 和偶自然数集E 可以建立双射,
故两者具有相同的势。
● 等势关系是一个等价关系。
●
● 自反性
● 对称性
● 传递性
● 假如A 是我们考虑的全部集合所构成的集合。
● R 是集合的等势关系。
● 那么A/R 就把A 的元素(也是集合)以集合的
势来作了一个划分。划分中的每一个等价类的元
素具有相同的势。
等价类
● [∅] = {∅}
● [ {∅} ] = { {a}, {x}, { 张三} , }
● [ {∅, {∅} } ] = { {a,b}, {x,y}, { 张三, 李四} …}
●
● 定义
● 0=∅
● 1={0} ={∅}
● 2={0,1} = { ∅, {∅} }
● 3={0,1,2} = { ∅, {∅}, { ∅, {∅} } }
●
…
● n= { 0,1,2,3, … , n-1}
●
有限集, 无限集
● 对集合A, 若存在某个自然数n ,使得A 与集合
n={0,1,2,...,n-1} 等势,称A 为有限集,并称A
的势( 基数 为n ,记作 |A| = n
●
● 集合A 称为无限集, A 不是有限集。换言
之,对任何自然数n ,都不存从A 到集合n 的一
一映射。
可数集,不可数集
● 自然数的全体构成的集合
N={0,1,2,} 是一个无限集
● N 的势记作( 阿列夫零 ℵ
0
● 即
● |ℕ |=ℵ
0
●
● 和自然数集等势的集合称为可数集,可数集的势也记为
ℵ
0
● 不是可数集的无限集称为不可数集 。
● A 是可数集的充分必要A 的元素可以排成一列
●
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