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概率论与数理统计答案 概率论答案chapter07 第七章　参数估计 1．随机地取８只活塞环，测得它们的直径为（以mm计） ７４．００１　７４．００５　７４．００３　７４．００１７４．０００　７３．９９８　７４．００６　７４．００２ 试求总体均值μ及方差σ２的矩估计值，并求样本方差s２ ． 解　总体均值μ的矩估计值，总体方差σ２ 的矩估计值分别为 ＾μ＝珚 x＝ii钞 n ＝１ x， 第七章　参数估计 （３）P｛X＝x｝＝ mx ∞ 135 p（１－p） xm－x ，x＝０，１，２，…，m， 其中０＜p＜１，p为未知参数． 解　（１）μ１＝ ∫ －∞ xf（x）dx＝ ∞c －θ ∫ θ ∞c xθcx θ∞c －（θ＋１） ＝θc 由此得 θ ∫ cxdx＝ θ＝ －θ＋１ ＝． ，dx 珡代替μ１，得到θ的矩估计量和矩估计值分别为在上式中以X 珡X珚x＾θ＝，　＾θ＝． （２）μ１＝由此得 １１ ∫ １０ xθx θ－１ dx＝ ∫ １０ θxdx＝ θ θ＋１ ２ ． ． １ 珡代替μ１，得θ的矩估计量和矩估计值分别为 在上式中以X ２２珡X珚x＾θ＝，　＾θ＝． θ＝ １ １ 　　（３）因μ１＝E（X）＝mp，得p＝，以珡X代替μ１，得到p的矩估计量和矩估 计值分别为 ＾p＝ 珡，　＾p＝ 珚x ． 　　3．求上题中各未知参数的最大似然估计值和估计量． 解　（１）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为 L＝L（x１，x２，…，xn；θ）＝＝（θc） θ n i＝１ ∏ n iθcx－ θ（θ＋１） i＝１ ∏ n x －（θ＋１） i ＝（θc） θ n i＝１ ∏ n xi －（θ＋１） ． lnL＝n（lnθ＋θlnc）－（θ＋１）ln 令 １lnL＝n＋lnc－ i＝１ ∏ n xi． i＝１ 钞 n lnxi＝０， 得θ的最大似然估计值为 ＾θ＝ １ １i＝１ 钞 n lnxi－lnc， 136概率论与数理统计习题全解指南 θ的最大似然估计量为 ＾θ＝ L＝ １ １ i＝１ 钞 n lnXi－lnc． n （２）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为 i＝１ ∏ n （θxi θ－１ ）＝θ n／２ i＝１n ∏ xi θ－１ ， lnL＝lnθ＋（θ－１）钞lnxi． i＝１ 令 １lnL＝lnxi＝０，＋２θi钞＝１ n 得θ的最大似然估计值为 ＾θ＝ θ的最大似然估计量为 i＝１ 钞 ２ ２ lnxi２ ， ＾θ＝ i＝１ 钞 lnXimxi nm－ x ２ ． 　　（３）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为 　　L＝ ＝lnL＝ln 令 i＝ １ ∏ n P｛Xi＝xi｝＝ n i＝１ ∏ n pi（１－p） i＝１ m－x i i＝１ ∏ mxi n pi钞＝１（１－p） xi n 钞 n x i ， i＝ １ ∏ mxi n ＋ i＝１ 钞 n xilnp＋（nm－ i＝１ 钞 n xi）ln（１－p）， 得p的最大似然估计值为 lnL＝i＝１ 钞 xi －（nm－i＝１ 钞 n xi） ＝０， ＾p＝ p的最大似然估计量为 i＝１ 钞 n xi １ ，　其中珚x＝＝珚x i＝１ 钞 n xi， 珡．＾p＝　　4．（１）设总体X具有分布律 第七章　参数估计 Xpk １ ２２θ（１－θ） ３（１－θ）２ 137 θ２ 其中θ（０＜θ＜１）为未知参数．已知取得了样本值x１＝１，x２＝２，x３＝１．试求θ的矩估计值和最大似然估计值． （２）设X１，X２，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的最大似然估计量及矩估计量． （３）设随机变量X服从以r ，p为参数的负二项分布，其分布律为 P｛X＝xk｝＝ xk－１r－１ p（１－p） r x－r k ，　xk＝r，r＋１，…， 其中r已知，p未知．设有样本值x１，x２，…，xn，试求p的最大似然估计值． 解　（１）（i）μ１＝θ＋２×２θ（１－θ）＋３×（１－θ）＝３－２θ． ２ ２ 解得θ＝ （３－μ１），故得θ的矩估计值为＾θ＝ 今珚x＝ １ （３－珚x）．　４１１５＾（x１＋x２＋x３）＝（１＋２＋１）＝，故θ的矩估计值为θ．　＝ （ii）由给定的样本值，得似然函数为 L＝ i＝１２ ∏ ３ P｛Xi＝xi｝＝P｛X１＝１｝P｛X２＝２｝P｛X３＝１｝ ２ ５ ＝θ·２θ（１－θ）·θ＝２θ（１－θ）， lnL＝ln２＋５lnθ＋ln（１－θ）．５１ lnL＝－＝０，．令 得θ的最大似然估计值为＾θ＝ （２）（i）设x１，x２，…，xn是相应于样本X１，X２，…，Xn的样本值，则似然函数为 L＝ i＝１ ∏ n λi－ x λ ii＝１ ＝e n －nλ λ钞 nx i＝１i i＝１ ∏ n xi