2016高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形.docVIP

第2讲　三角恒等变换与解三角形 一、选择题 1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2 α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝. 用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.故选C. 答案　C 2.(2015·晋中模拟)已知α∈，sin＝，则cos α等于(　　) A.－ B. C.－或 D.－ 解析　∵α∈.∴α＋∈. ∵sin＝， ∴cos＝－， ∴cos α＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝－. 答案　A 3.钝角三角形ABC，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A.5 B. C.2 D.1 解析　S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，∴sin B＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B. 答案　B 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A.3 B. C. D.3 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①. ∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得 ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，故选C. 答案　C 5.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　) A. B. C. D.或 解析　依题意得sin β＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝＜sin β，因此有α＋β＞(否则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋βsin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝. 答案　A 二、填空题 6.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________. 解析　∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝， S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24， 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8. 答案　8 7.(2015·南昌模拟)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________. 解析　∵sin A＋sin B＝2sin C. 由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝， cos C＝＝ ＝≥＝， 当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立. ∴cos C的最小值为. 答案　 8.如图，嵩山上原有一条笔直的BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米. 解析　如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得＝. 所以＝，得AD＝400(米). 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得 AC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC ＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米).故索道AC的长为400米. 答案　400 三、解答题 9.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值； (2)求sin的值. 解　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B. 由正、余弦定理得 a＝2b·. 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2. (2)由余弦定理得cos A＝＝＝－. 由于0＜A＜π， 所以sin A＝＝＝. 故sin＝sin Acos ＋cos Asin ＝×＋×＝. 10.(2015·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin B＝bcos C＝3. (1)求b； (2)若△ABC的面积为，求c. 解　(1)由正弦定理得：sin Csin B＝sin Bcos C. 又sin B