2016高考数学大一轮复习74基本不等式及其应用教师用书理苏教版.docVIP

§7.4　基本不等式及其应用 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　) (2)ab≤()2成立的条件是ab0.(　×　) (3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　×　) (4)“x0且y0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　) (5)若a0，则a3＋的最小值为2.(　×　) (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(　√　) 1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是________． ①a2＋b22ab ②a＋b≥2 ③＋ ④＋≥2 答案　④ 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误． 对于②③，当a0，b0时，明显错误． 对于④，∵ab0，∴＋≥2 ＝2. 2．若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________． ①≤ ②＋≤1 ③≥2 ④a2＋b2≥8 答案　④ 解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，①③不成立；＋＝＝≥1，②不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，故④成立． 3．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________． 答案　1 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1. 4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元) 答案　160 解析　设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(x＋)×10，即y＝80＋20(x＋)(x0)．因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元). 题型一　通过配凑法利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x，求f(x)＝4x－2＋的最大值； (2)已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值； (3)求函数y＝的最大值． 解　(1)因为x，所以5－4x0， 则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. (2)因为x0， 所以x＝ ≤， 又x2＋(＋)＝(x2＋)＋＝， 所以x≤(×)＝， 即(x)max＝. (3)令t＝≥0，则x＝t2＋1， 所以y＝＝. 当t＝0，即x＝1时，y＝0； 当t0，即x1时，y＝， 因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)， 所以y＝≤， 即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)． 思维升华　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． 　(1)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________． (2)若函数f(x)＝x＋(x2)在x＝a处取最小值，则a＝________. 答案　(1)　(2)3 解析　(1)因为0x1，所以x0,3－3x0. 由基本不等式可得x(3－3x)＝·3x(3－3x) ≤()2＝， 当且仅当3x＝3－3x，即x＝时，等号成立． (2)因为x2，所以x－20，则 f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． 即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. 题型二　通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值 例2　(1)已知x0，y0且x＋y＝1，则＋的最小值为_