20162017学年高中数学第2章变化率与导数3计算导数课后演练提升.docVIP

2016-2017学年高中数学 第2章 变化率与导数 3 计算导数课后演练提升 北师大版选修2-2 一、选择题 1．下列结论正确的是(　　) A．若y＝，则y′＝ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝cos x，则y′＝sin x D．若y＝ln x，则y′＝ 解析：　′＝－，()′＝，(cos x)′＝－sin x，(ln x)′＝. 答案：　D 2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值是(　　) A．－4 B．4 C．±4 D．不确定 解析：　f′(x)＝a·xa－1，f′(－1)＝a·(－1)a－1＝－4， a＝4. 答案：　B 3．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值等于(　　) A．e B．－e C. D．－ 解析：　y′＝(ln x)′＝，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋ln x0－1，由ln x0－1＝0得x0＝e. 又k＝，k＝. 答案：　C 4．已知直线ax－by＋2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为(　　) A.　　　　B. C．－ D．－ 解析：　曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，直线ax－by＋2＝0斜率k′＝，由题意可得3×＝－1，故＝－. 答案：　D 二、填空题 5．若已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，且f′(x)＋g′(x)≤0，则x的取值为_____________． 解析：　f(x)＝cos x，g(x)＝x， f′(x)＝(cos x)′＝－sin x．g′(x)＝x′＝1. 由f′(x)＋g′(x)≤0，得到－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x[－1,1]， sin x＝1.x＝2kπ＋，kZ. 答案：　2kπ＋，kZ 6．曲线y＝sin在点A处的切线方程为_________________． 解析：　sin＝cos x， y′＝(cos x)′＝－sin x， 切线的斜率k＝－sin＝， 过点的切线方程为y－＝， 即3x－6y＋π＋3＝0. 答案：　3x－6y＋π＋3＝0 三、解答题 7．求下列函数的导数． (1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x； (4)y＝x；(5)y＝2cos2－1. 解析：　(1)y′＝c′＝0，y′＝2′＝0. (2)y′＝(xn)′＝n·xn－1， y′＝()′＝(x)′＝x－1 ＝x－＝. (3)y′＝(ax)′＝ax·ln a， y′＝(10x)′＝10x·ln 10. (4)y′＝(logax)′＝， y′＝(x)′＝＝－. (5)y＝2cos2－1＝cos x， y′＝(cos x)′＝－sin x. 8．函数y＝log2x的图像上任一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln 2)x＋y－3＝0垂直，求a的值． 解析：　y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为 k1＝y′x＝a＝. 已知直线斜率k2＝－2ln 2. 两直线垂直，k1k2＝＝－1.a＝2. 9.求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)． 证明：　因为xy＝a2，所以y＝. 所以y′＝′＝－. 函数y＝在图像上的任一点(x0，y0)处的切线斜率k＝－，y0＝， 所以切线方程是y－y0＝k(x－x0)． 即y－＝－(x－x0)， 令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝2x0， 所以S＝|x|·|y|＝·|2x0|＝2a2为常数． 即在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数2a2. 4