02控制系统数学模型.ppt

数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述 系统输入、输出变量以及内部各变量之间 的关系的代数方程。 静态数学模型—在静态条件下(即变量各阶导数为0)， 描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。 常用的动态数学模型：微分方程、差分 方程、状态方程、传递函数、动态结构 图信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。 微 分 方 程 一、线性元件的微分方程： 列写方法： （1） 确定元件的输入、输出变量。 （2） 从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出 原始方程式。 （3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微 分方程。 （4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右 边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导 数按降幂排列。 例1. RC 网络， 为输入， 为输出，列微分方程。 例2．R-L-C 电路， 为输入， 为输出, 列微分方程。 传递函数 拉氏变换 1.定义：设函数f(t)当t=0时有定义，而且积分 存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。记为 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为： 传 递 函 数 用拉氏变换求解微方，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具，也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。 结构图及其等效变换 利用动态结构图既能方便地求传递函数，又能形象直观地表明动态信号在系统中的传递过程。它是一种数学模型，可以进行代数运算和等效变换，是求取传递函数的有利工具。 信号流图 ③比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加减， 运算符号必须表明，一般正号可省略。 ④函数方框：表示输入、输出信号之间的动态传递 关系，方框的输出信号等于方框的输 入信号与方框中G(s)的乘积。 结构图（续） 第二章 数学模型 比较点 函数方框 引出点 带箭头的线 如RC网络： 结构图（续） 第二章 数学模型 2．对上述微分方程进行拉氏变换，并做出各元 件的结构图。 二、结构图的建立： 1．建立控制系统各元部件的微分方程（分清输 入、输出，负载效应）。 3．按照系统中各变量的传递顺序，依次将各单 元结构图连接起来，其输入在左，输出在右。 第二章 数学模型 * * * * * 控制系统的数学模型 模型的基本概念 第二章 数学模型 用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。 模型的基本概念(续) 第二章 数学模型 第二章 数学模型 线性元件的微分方程(续) 解： 令T=RC为时间常数，则有 ---一阶微分方程。 ……(1) 第二章 数学模型 解： — 二阶微分方程 线性元件的微分方程(续) 均为时间常数, 第二章 数学模型 线性元件的微分方程(续) 例3. 弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(t)作用时，系统将产生运 动x(t)----位移。 解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和不平衡，则质量 m 将有加速度，并使速度和位移改 变。根据牛顿第二定律有： 第二章 数学模型 假设弹簧是线性的，则 线性元件的微分方程(续) 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 第二章 数学模型 -------二阶微分方程 比较(2)、(3)式可以发现：