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生活中的数学 ——初探数学建模 什么是数学建模 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模也称数学实验，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。 数学在各领域中的地位 数学建模 今天我们要说什么 目 录 你能推算出案发时间吗？ 某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温26℃，室温17℃，2小时后尸温下降了3℃，试根据冷却定律建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 冷却定律为 其中室温为C，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为T，k为可求常数. 如何建模 分析过程 由公式 根据题意，可将 T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2 代入上式，可求得常数 故可建立差分方程： 分析过程 描点作出温度与时间的关系图 结果分析 由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温接近26℃，而警方于6时测得尸温为26℃。而当受害者死亡接近6小时时测得尸温约为23℃也与题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌晨2点。 你能当大预言家吗？ 建立人口增长模型，用表1的数据预报2010年美国的人口，并进行模型检验.下表是1790——1990年美国每隔十年的人口记录： 表1 美国人口统计数据(百万人) 建模过程 描绘散点图 数据处理 由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着时间而增加。为了找到增长率变化的数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量在第k个十年的增长率，即 年增长率的散点图 拟合一次函数的效果图 实验数据和模拟值的对照 人口增长的模拟效果图 结果猜测 由以上数据的模拟整合，我们可以预测2010年美国人口数量。2010与2000年相比，其增长率大概为0.12左右，而2000年的人口数量为281.4百万人，故可计算得2010年美国人口数量大概为305.2百万人。 山猫们活得好吗？ 据报道，某种山猫在教好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假定开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势： （1）3种自然环境下25年的变化过程； （2）如果每年捕获3只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？ 山猫数量的影响因素 问题一 记第k（k=0,1,2…）年山猫的数量为xk，设自然环境下的年平均增长率为r，则列式得 描绘三种条件下演变曲线 问题一结果分析 在较差的自然环境下，山猫的数量会越来越少，最后可能将濒于灭绝； 在中等和较好的自然环境下，由于增长率大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长，且在较好的自然环境下增长得快一些。 问题二 如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下的年平均增长率为r，且每年捕获的数量为b，则列式得 每年捕捉3只山猫后的演变图 每年捕捉1只山猫后的演变图 LOGO * LOGO 汕头市第一中学 肖朝欣 物理 生物 化学 数学 经济 能用数学解决的问题 数学理论的加工 物理 生化 经济 心理 1 如果你是警察或侦探，在到达案发现场时你能推测死者的死亡时间吗？ 2 如果你知道某个国家近百年来人口的数量，你能猜测它未来十年后的人口数量吗？ 3 生物世界复杂多变，一种生物的生存有许多因素在左右着它，能否用你的数学头脑，来理性分析呢？ 死亡时间推测问题 1 人口增长猜测问题 2 山猫数量随条件变化问题 3 利用Excel作简单图象的介绍 4 可设正常人体温为37℃ 假设案发之后没有外界环境对尸体温度产生客观影响 建模过程 使用冷却定律作理论依据来帮助计算 列出相应适用的数学方程 Ti表示经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温度状况： 凌晨到早上6点尸温的变化 22.926 24.258 25.889 27.887 30.333 33.333 37.000 T 6 5 4 3 2 1 0 t 22.926 24.258 25.889 27.887 30.333 33.333 37.000 T 6 5 4 3 2 1 0 t 281.4 251.4 226.5 204.0 179.3 150.7 人口(百万) 2000 1990 1980 1970 1960 1950 年份 131.7 123.2 106.5 92.0 76.0 62.9 50.2 38.6 人口(百万) 1940 1930 1920