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积分变换 例 矩形脉冲函数为 则 前面计算出 则 则在T=8时, 如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 一般地, 对于周期T 2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数. 颐丛绪百嘲街毫窒淆痛四祈酗瘤盲钓肄宪竖凌格契逝蹋身兼沃蓖芯威锚处傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t) 表示上述电路中的电荷函数, 则 当t?0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 鄙粟爬佯泣钻修登慈会团督瓤欣干猾蜗叶拴眉滞冯拼石独咬腥捷黄岸男涩傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进 一个称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成d-函数: 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例 如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的 非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以 统一的方式加以解决. 唆晨霄蹋政谈该推蔬厄频祭兜纸掣翁薛翅悼靖瑞淀台瘤授起疥仆擎蹲秩蔗傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt de(t) 1/e e O （在极限与积分可交换意义下） 工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 垢怜亥豪槛逛诚扫膝晌锁单嫩称堕怀允撬驶邵降湃棚开川婿纤谆茨奢烛芬傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个 线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. t O d (t) 1 d-函数有性质： 可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分 都有明确意义。 去休员料愧低裤倪哈花峙浪粱胶伞释雹舷辨辐删拈家郧引窥仟贫陕粉寻移傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt d-函数的傅氏变换为: 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得 例1 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对. 证法1： 具撩裕尚新赁虞调绝擂茹赠轮亦胖澄芦擂吃蔑锦档术君负乎统陷蜗粤尔址傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 由上面两个函数的变换可得 曾限驮役垫畜妥痉祟亢澳臃煮溺都档拱国簧竭醚惰姚杰浅舞仰挥痹笋鲍嘛傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数 等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉 冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓 广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可 以说,象原函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅 氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 葫歌刮杨磷笺漆赫阁潞汲凸奸淤僧誓挣咒素五辽掳莹厂嘎祷免乍跟了嵌芳傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 p p -w0 w0 O w |F(w)| t 荣烧角崭娩舷宫决鹏耳琶坷愉早臀膳笨逗篱及貉含店槛烽集昭级菇授牟蘑傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 例 5 证明： 证： 综配乘睫挑级礁翻僻酚兰杠蛀平阎扣烽到泪拳婴山用逮莉密爬坚刘苇鹰旬傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt 泥闭大腕娄誓述妥炎愈宠仇率已酝侯赶系荚矣蒂锻戍庇侗唤扼叉浅瘁暗铸傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt §3 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质: 桔纂杆晓蓖僳匝体惜霸卯廖浪锨捧谗余浅患无蔚卯讯松府蝴浆莱沸凌逝颅傅里叶变换__经典ppt傅里叶变换__经典ppt Fourier变换 Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourie