《信号与系统》第六章离散时间信号的傅立叶变换.ppt

信号与系统 Signals and systems 第六章 离散时间信号的傅立叶变换 6.1 LTI离散时间系统对复指数信号的响应 6.2 离散时间周期信号的傅立叶级数 1 离散时间周期信号的傅立叶级数 2 离散时间信号的周期卷积及其傅立叶级数 6.3 离散时间信号的傅立叶变换 1 离散时间周期信号的傅立叶变换 2 离散时间信号傅立叶变换举例 6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质 1 周期性 3 时移特性 4 频移特性 5 时域展宽特性 6 共轭对称特性 7 时域卷积特性 8 时域差分特性 9 时域累加特性 10 能量定理——帕斯瓦关系 11 时域相乘（幅度调制）特性 12 频域微分特性 6.6 LTI离散时间系统的频率响应与理想滤波器 1 离散时间系统频率响应 2 离散时间理想滤波器 6.7 离散时间信号的采样与抽取 1 离散时间信号的采样及采样定理 2 离散时间信号的抽取和内插 6.8 连续时间信号的离散时间处理 1 连续时间信号的离散化及其频谱 2 连续时间信号角频率与离散时间信号角频率的关系 6.9 离散傅立叶变换（DFT） 1 离散傅立叶变换的概念 2 DFT与离散时间信号的循环卷积和卷积 离散时间信号 的傅氏变换 或 (6.8.5) 采样 离散 为什么连续时间信号的角频率 可任意大，而 离散时间信号的角频率 总是小于等于 ? 设连续时间信号 的最高角频率为 ，根据奈 奎斯特采样定理，采样周期 应满足 例6.8.1 已知连续时间信号为 求对 采样时需满足的奈奎斯特采样周期。 若采样周期分别为 ，画 出相应的离散时间信号 的频谱。 解： 信号 的傅氏变换为 信号的采样周期应满足 设时限信号 信号的点数 根据信号 构造周期信号 ，且设周期 (6.9.1) 离散时间信号的采样和恢复可表示为如图所示。 ，即 设离散时间信号为带限信号，其傅立叶变换为 设信号 是周期为 (采样周期)的冲激串信号， 表示为 (6.7.1) 对信号 采样，就是信号 与 相乘，即 (6.7.3) 的信号值在 的整数倍处与 相同，而在其它时刻为零。 的傅氏变换 为 根据离散设计信号的调制特性， 的傅氏变换 为 与 的周期卷积，可表示为 (6.7.2) (6.7.4) 同连续时间信号的采样类似，可用一低通滤波器从 ，低通滤波器的频率响 为 恢复出信号的频谱 应 相应的系统冲激响应为 (6.7.5) (6.7.6) 恢复信号的频谱为 (6.7.7) 恢复信号的时域表达式为 离散时间信号的内插 (6.7.8) 离散时间信号的采样定理 或 时，频谱不会 采样角频率 出现混叠 点（ 对采样后的信号 隔 称为抽取周期） 中对 的采样点“抽取” 可用公式表示： 取样一点，即刚好将 出来，抽取后的信号 从离散时间信号 得到信号 的过程，称为对信 的抽取。 号 (6.7.11) 离散时间信号的抽取 信号 采样结果信号 抽取结果信号 信号 的傅氏变换为 由于 仅在时间变量为 的整数倍，即 时不为零，所以 (6.7.12) 由于信号 ，所以信号 的傅氏变换可 表示为 是 倍展宽 的 (6.7.14) 频谱 采样结果频谱 抽取结果频谱 将离散时间信号的抽取称为信号的降采样 （downsampling） 从抽取后的信号 恢复原信号 的过程就是抽取 的逆过程。 每两点间插入 个零点 低通滤波器 (6.7.15) 从抽取后的信号 恢复原信号 的过程常称为 信号的升采样（upsampling）或内插 从信号的抽取和恢复过程可以看出，为了能从信号 恢复出原信号 ，要求抽取后的信号频谱 不能出现频谱混叠 或 升采样频谱： 例6.7.1 已知离散时间信号 为 求能恢复出信号 的最大采样周期 画出 的采样信号和抽取信号 时， 的波形和频谱图。 解： 信号 的傅氏变换为 采样周期 当 时 采样信号 抽取信号 信号 频谱 对带限连续时间信号 进行采样,采样结果是 幅度被一冲激串，冲激的强度等于 在各采样点 上的幅度，为 (6.8.1) 定义离散时间信号 连续时间信号 的傅氏变换 (6.8.2) (6.8.3) 如果 ,则 证明: 时域卷积特性 (6.4.23) 如果 ,则 (6.4.25) 证明: 交换积分与求和的顺序 例6.4.5 利用帕斯瓦关系 (1)求信号 的能量。 (2)求级数 的值。 解： (1) 帕斯瓦关系 (2)如果 ，则信号能量为 如果