《信号与系统》第七章z变换.ppt

信号与系统 Signals and systems 第七章 Z 变换 Z Transform 引言 第五章讨论的拉普拉斯变换，是对连续时间信号的傅立叶变换进行修正和拓展，使其在信号不绝对可积时仍然适用。本章讨论的z变换其地位和作用与拉普拉斯变换相同，将对第六章讨论的离散时间信号的傅立叶变换理论进行拓展，使其能适用于离散时间信号不绝对可加时的情况。 7.1 z变换 7.2 z变换的收敛域 3. z变换收敛域的性质 4. 离散时间信号的傅氏变换与z变换的关系 7.5 逆z变换的计算方法 7.6 LTI离散时间系统的z域描述 7.7 单边z变换 7.8用z变换求LTI离散时间系统响应 7.9 LTI离散时间系统的方框图实现 7.10 LTI离散时间系统的状态变量描述 取逆z变换可得系统响应为 （2）系统零输入响应 令输入信号 代入初始条件并化简可得 联系到系统响应的卷积关系 根据z变换的时域卷积特性可得结论 (7.6.5) (7.6.6) 系统函数可表示为 定义系统的零点为方程 的根 定义系统的极点为方程 的根 在z平面上标注出的零极点，称为系统的零极点图 (7.6.9) LTI离散时间系统的差分方程、系统函数、系统零极 点图、冲激响应在描述系统时等价，且可相互求出， 关系如图 2. 离散时间系统因果性与系统函数收敛域的关系 对于因果的LTI离散时间系统，其冲激响应是 因果信号有 的收敛域应为距原点最远的极点所在圆的 因果信号 显然是一个右边信号，其z变换 （即系统函数） 圆外z平面。 3. 系统可逆性与逆系统的系统函数 由时域卷积特性，逆系统的系统函数满足 根据第二章的结论，逆系统冲激响应与间应满足 (7.6.10) (7.6.11) 例7.6.2已知LTI离散时间系统的差分方程为 （1）求系统函数，画出系统零极点图； （2）若系统是因果的，求系统冲激响应； （3）若系统是逆因果的，求系统冲激响应； （4）若系统是稳定的，求系统冲激响应 ； 解: (1)对差分方程两边求z变换，得 得系统函数 利用部分分式分解方法，得到 （2）若系统是因果的,则 的收敛域应为 （3）若系统是逆因果的,则 的收敛域应为 （4）若系统是稳定的,则 的收敛域应为 例7.6.３已知LTI离散时间系统对输入　　　　的响应 求系统函数　　及其收敛域。 解：输入信号的z变换为 根据式(7-6-3)得系统函数　　的表达式为 需特别注意的是　　的收敛域，由于有两个 极点3和-1/2 ，仅当 的收敛域为 的收敛域与 的收敛域的交集才可能为 .所以， 及其收敛域为 4. 系统稳定性与系统函数收敛域的关系 LTI离散时间系统稳定的充要条件为: 系统函数 的收敛域包含单位圆。 5. 系统频率响应与系统零极点位置 系统稳定时，系统频率响应存在，且可表示为 (7.6.17) 系统函数可用零极点表示为 则系统的频率响应为 可见，系统的频率响应由零极点位置完全确定。 (7.6.18) 例7.6.4 已知系统极点为 ， ， 无非零的零点，定性画出系统的幅频特性。 解： 6. 离散时间全通系统和最小相位系统的概念 (1)离散时间全通系统 同连续时间系统一样，所谓全通系统，就是 LTI离散时间系统的幅频特性为一常数，即 是一常数 (7.6.20) 可以证明，不论系统函数 是实极点还是 复共轭极点,只要 且所有零点和极点互 为共轭倒数关系（称为关于单位圆镜像对称）， 则系统是全通系统。 (7.6.21) (2)离散时间最小相位系统 一个因果LTI离散时间系统，如果其系统函数 的全部零点和极点都位于单位圆内，则称该 系统是最小相位系统。 由于最小相位系统的全部极点都位于单位圆 内，故其一定是稳定系统。 同连续时间系统类似，任何一个因果的LTI离 散时间系统，可表示为一个最小相位系统和 一个全通系统的级联。 由于最小相位系统全部零点也位于单位圆内，其对应的逆系统函数的极点都位于单位圆内，即逆系统是稳定的。 1. 单边z变换的定义 定义：离散时间信号的单边z变换（unilateral z-transform）为 只与 时的 有关。为以示区别，将 前面讨论的z变换称为双边z变换（bilateral z-transform）。 (7.7.1) 单边z变换的 逆变换可表示为 信号 的单边z变换记为 (7.7.2) (7.7.4) (7.7.5) 例7.7.1 求下列信号的单边和双边z变换。 解： （1）由于 是因果信号，其单