2-4隐函数和参数方程求导教程方案.ppt

导数与微分 教学目的与要求 会求隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数 掌握对数求导法 重点： 隐函数和参数式所确定的函数的导数 难点：如何直接由F(x,y)=0求出函数y对x的导数及参数方程的二阶导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率 五、小结 * 第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 例如, 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 例4 解 等式两边取对数得 例5 解 等式两边取对数得 一般地 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 若上述参数方程中 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 例6 解 ? 已知 注意 : 所求切线方程为 例7 解 例8 解 例9. 设由方程 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例10 解 仰角增加率 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ? 提示: 对 t 求导 已知 求 例11 解 水面上升之速率 4000m 某人身高2米，以 请问此人身影长度的变化率是多少？ 解决此类问题的思路是：利用几何和物理方面的知识， 建立x与y之间的关系式，这种关系式称为相关方程， 然后将相关方程对t求导，即可得到 和 之间的关系，最后求出 。 例12 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 思考题 思考题解答 不对． 2. 设 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: * * * 设，由 可知，对吗？ 填空题： 设确定了是的函数，则=________，________. 曲线在点（1，2）处的切线方程是___________. 曲线在处的法线方程________. 已知,则=______；=______. 设,则=________. 求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数： ； ； . 用对数求导法则求下列函数的导数： ； ； . 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数： 1、 ； 2、 设存在且不为零 . 求由参数方程所确定的函数的 三阶导数 . 六、设满足，求 . 在中午十二点正甲船的6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？ 水注入深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？ 一、1、,； 2、 3、； 4、； 5、. 二、1、； 2、-； 3、. 三、1、； 2、； 3、. 四、1、； 2、. 五、. 六、. 七、-2.8(公里/小时). 八、(米/分).