2016高考数学大一轮复习5.3-5.4平面向量的数量积及其应用学案理苏教版剖析.docVIP

学案26　平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 自主梳理 1．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________． (2)向量夹角θ的范围是________________，a与b同向时，夹角θ＝______；a与b反向时，夹角θ＝______. (3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________． 2．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：______________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________； ②非零向量a，b，a⊥b________； ③a·a＝________或|a|＝________； ④cos〈a，b〉＝______________； ⑤|a·b|____|a||b|. 3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa)·b＝a·(λb)＝____________＝λa·b. 4．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝____________； (2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b____________； (3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________， cos〈a，b〉＝_______________. (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，所以||＝_____________. 自我检测 1．(2010·湖南改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝________. 2．(2010·重庆改编)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________. 3．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ＝________. 4．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________________． 5．(2009·天津)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究点一　向量的模及夹角问题 例1　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 变式迁移1　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________． (2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________． 探究点二　两向量的平行与垂直问题 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k0)． (1)求证：a＋b与a－b垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ. 变式迁移2　(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. 探究点三　向量与三角函数的综合应用 例3　已知向量a＝， b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 变式迁移3　在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2＋cos 2C＝1. (1)求角C的大小； (2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝，m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝－16.求a、b、c的值． 1．一些常见的错误结论： (1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(