2016高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版剖析.docVIP

§5.3　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥ba·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b| ≤ |a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　) (3)△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是等腰三角形．(　√　) (4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．(　×　) (5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　) (6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ－或λ0.(　×　) 1．(2014·重庆改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝ . 答案　3 解析　因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3. 2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角＝ . 答案　30° 解析　设向量a与向量a＋2b的夹角为θ. ∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos 60°＝12， ∴|a＋2b|＝2， a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos θ ＝2×2cos θ＝4cos θ， 又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos 60°＝6， ∴4cos θ＝6，cos θ＝， ∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°. 3．在等腰△ABC中，底边BC＝4，则·＝ . 答案　－8 解析　取BC的中点为D，连结AD，因为△ABC是等腰三角形，BC是底边，所以AD⊥BC，又BC＝4，则·＝(＋)·＝·＋·＝0－2×4＝－8. 4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为 ． 答案　－4 解析　由题意得，AP＝2，PM＝1，所以·(＋)＝·2＝2×2×1×cos 180°＝－4. 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ． (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 ． 答案　(1)　(2)1　1 解析　(1)＝(2,1)，＝(5,5)， ∴在方向上的投影为＝ ＝＝. (2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因为＝(1,0)， 所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值为1. 方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·1＝1， 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1.