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第四节 重积分应用举例 一、曲面的面积 二、质心和转动惯量 三、引力 一、曲面的面积 例1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截， 如果截面的法向量为 证 不妨设截面MPQR与底面MNOL的位置关系如图所示，其中点M的坐标为 又将点R的坐标 例2 求旋转抛物面 例3 求半径为a，高度为 二、质心和转动惯量 2、转动惯量 三、引力 四、小结 * * 底面位于 面，证明截面（平行四边形）的 与底面的面积 有如下的关系： 面积 。由解析几何知，截面MPQR 有点法式方程 将点P的坐标 代入上式，得 ，即点P的坐标为 代入上式，得 ，即点R的坐标为 因而得 于是得截面面积 １．设曲面的方程为： 如图， g o 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 位于 之间的那一部分的面积。 解： 设 由公式知 由公式得球冠的面积 其中 解： 设球冠的方程为 的球冠的面积。 1、质心： 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 例3 设一正棱锥体 的底面位于 面上，底面中心为 坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。 解：设 的形心坐标为 且 ,其中v是 的体积 解 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 解 其中 例6 求半径为R的均匀圆盘 面密度为常数 ，对位于 单位质点的引力 解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知 又按公式，所求引力沿z轴的分量为 解 由积分区域的对称性知