〔南京一轮复习〕课时11平面向量的基本定理及其坐标表示.docVIP

第11课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 【课前自主探究】 ※考纲链接了解平面向量的基本定理及其意义. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ※ 教材回归 ◎基础重现： 1．平面向量的基本定理： 如果是一个平面内的两个 向量，那么对这一平面内的任一向量， 实数使： ，其中 的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 2．平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量的________，记作： ，其中x叫作在x轴上的 ，y叫做在y轴上的 . 4．平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则= 若，则 ， . 基础重现答案：1. 不共线 有且只有一对 不共线 基底 2．分解 正交分解 3．坐标 =(x,y) 坐标 坐标 4．（1） （2） （3）(x,y) （4）， ◎思维升华： 1．向量的坐标与点的坐标有什么联系和区别？ 2．1．点的坐标指定了点在直角坐标系中的位置；当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是其终点的坐标；当向量的起点不在坐标原点时，向量的坐标是其终点的坐标减去其起点的坐标. 2．向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 ※ 基础自测 1．a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b－a的坐标是 答案：（－3，－4） 解析：设（x，y）=2ba =2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4） (2010·盐城中学高三上学期期中考试)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________. a－c＝(3－k，－6)，由题知(3－k)×3＋6＝0，∴k＝5a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），则c用a，b表示为 答案：ab 解析：设c=ma+nb，则（－1，2）=m（1，1）+n（1，－1）=（m+n，m－n）， ∴ ∴. 4．若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为 解析：因为三点共线，所以它们形成的向量也共线.易知，，， 与共线，，解得. 5． 答案：（12，5）,（-2，9）,（3，7） 解析：本题中的三个点没有顺序关系，它们形成的三角形的任一边都可以作为平行四边形的对角线，另两边作为平行四边形的邻边，共有三种情况. 【课堂师生共探】 ※ 经典例题 ○题型一 与平面向量的基本定理有关运算 例1如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若，=，试用，将向量，，， 表示出来． 根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可． 解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以＋，所以 =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以＋+=++=2+，同样在平行四边形BCDO中，＝＝＝＋＋＝＋，＝＝－其实在以A，B，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示． 变式训练中，点在上，平分．若 ，则 答案： 解析：因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以. ○题型二 平面向量坐标表示下的线性运算 例2已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若 (λ∈R)，则当λ为何值时，点P在第三象限？ P的坐标，表示出题中的各个向量，根据向量相等列出方程求解即可. 解：设P点的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵，∴∴ 又∵P在第三象限，∴即∴解得λ－1即当λ－1时，点P在第三象限． 解题过程中要注意方程思想的运用. 变式训练：已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且，求点M、N及的坐标． ∵A(－2,4