【2017年整理】全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析.docVIP

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】 当时，， 因为它们都是比高阶的无穷小，故，即 2、下列曲线中有渐近线的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考点】函数的渐近线 【详解】 对于选项A， 不存在，因此没有水平渐近线， 同理可知，选项A没有铅直渐近线， 而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线； 对于选项B和D，我们同理可知，对应的函数没有渐近线； 对于C选项，.由于，又 .所以存在斜渐近线.故选C. （4）设函数具有2阶导数，，则在区间内（ ） （A）当时， （B）当时， （C）当时， （D）当时， 【答案】D 【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】 令 则 由拉格朗日中值定理知，存在，使得 即 又因为 若，则，所以单调递减， 当单调递增， 当单调递减， 又，所以，即，故选D 【解法二】 令，则函数具有2阶导数，且 所以 当时，，故选D 4、曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】 5、设函数，若，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【考点】函数求导、函数求极限 【详解】 . . . 6、设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（ ） （A）的最大值和最小值都在的边界上取得 （B）的最大值和最小值都在的内部取得 （C）的最大值在的内部取得，的最小值在的边界上取得 （D）的最小值在的内部取得，的最大值在的边界上取得 【答案】A 【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】 因为，故与异号.又， 则，所以函数在区域内没有极值. 又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在的边界点取到. 7、行列式（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】 故选 【解法二】 8、设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（ ） （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【考点】向量组的线性相关性 【详解】 二、填空题9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. . 【答案】 【考点】无穷限的反常积分 【详解】 10、设是周期为的可导奇函数，且，则 【答案】1 【考点】一阶微分方程、周期函数 【详解】 11、设是由方程确定的函数，则 . 【答案】 【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】 12、曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是 . 【答案】 【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】 把极坐标方程化为直角坐标方程 令 13、一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 . 【答案】 【考点】质心坐标 【详解】 质心横坐标公式： 所以： 14、设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是 . 【答案】 【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】 二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为 则，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零； ，即 【解法二】 三、解答题15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】 16、（本题满分10分） 已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值. 【考点】微分方程、函数的极值 【详解】 17、（本题满分10分） 设平面区域，计算. 【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】 积分区域关于对称，利用轮对称行， 18、（本题满分10分） 设函数具有2阶连续导数，满足. 若，，求的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【详解】 令 即： 对应的齐次微分方程的特征方程为： 解得： 故齐次微分方程