两曲线的交点.ppt

第二节 定积分在几何上的应用 平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长 小结 x y o 曲边梯形的面积 穿针法或微元素法 曲边梯形的面积 被积函数上-下、右-左 一、平面图形的面积 1 直角坐标系情形 解 两曲线的交点， 面积元素 选 为积分变量 解方程组 注 被积函数为上-下，上为 下为 解 两曲线的交点 选 为积分变量 注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 面积元素 曲边扇形的面积 2. 极坐标系情形 解 于是 解 利用对称性知 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 圆柱 圆锥 圆台 二 空间立体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 1 旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 变化范围 解 直线方程为 过原点 及点 解 f x ) ) ( ) ( 2 2 p p p + dx x f x x f dx x dV ( 2 ) ( = - = 证明：如图，体积元素 利用公式， 可知上例中 2、平行截面面积为已知的立体的体积 从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积 取平面与圆柱体的交线为 轴，底面上过圆心、且垂直于 轴的直线为 轴 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积 三 平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念 定理 光滑曲线弧是可求长的. 简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线 随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为 光滑曲线。 就是弧长元素 弧长 由第三章的弧微分公式知 2 直角坐标情形 例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 例2 计算由曲线和直线所围成的图形的面积. （其中和对应曲线起点与终点的参数值） 在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续. 例3 求椭圆的面积. 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里， 在上连续，且． 例 6 求双纽线所围平面图形的面积. 例5 求心形线所围平面图形的面积. 旋转体可以看作是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。 取积分变量为 相应于上的任一小区间，窄边梯形绕轴 旋转而成的薄片的体积近似的于以为底半径、为高的扁圆柱体的体积，即体积元素 例7 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕 轴旋转构成一个底半径为 、高为 的圆锥体，计算圆锥体的体积． 取积分变量为， 圆锥体中相应于上任一小区间的薄片 的体积近似于底半径为、高为的扁圆柱体的体积即体积元素 于是所求圆锥体的体积为 用与上面类似地方法可以推出：由曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为 绕轴旋转的旋转体体积 绕轴旋转的旋转体体积 可看作平面图与 分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差. 如图，表示过点且垂直于轴的截面面积， 为的已知连续函数，体积元素 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 垂直于轴的截面为直角三角形 例10 求以半径为的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为 的正劈锥体的体积. 垂直于轴的截面为等腰三角形 例4 求阿基米德螺线 上相应于从到的弧与极轴所围成的图形的面积. 例 8 计算摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积. 用与上面类似地方法可以推出另一个计算旋转体的体积公式： 由连续曲线、直线 、及轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体，体积为 设、是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长. 设曲线弧为 ，其中在上有一阶连续导数 小切线段的长 例11 计算曲线上相应于从到 的一段弧的长度. 其中在上具有连续导数. 例11 计算曲线 其中在上具有连续导数.