2015创新设计〔高中理科数学〕3–7.ppt

第7讲　解三角形应用举例 [必威体育精装版考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 知 识 梳 理 1．距离的测量 2.高度的测量 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角(如图1)． (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 2．测量高度问题 (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. (×) (4)如图2，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出A点距地面的高度AB. (√) 2．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 规律方法 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后 把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离 测量问题，然后运用正弦定理解决． (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问 题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而 运用正弦定理解决． 【训练1】 (2013·茂名二模) 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为 (　　)． 答案　A 考点二　测量高度问题 【例2】 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°. (1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB. 规律方法 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念． (2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内 应用正、余弦定理． (3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形． 答案　C 审题路线　分清已知条件和未知条件?设行驶t小时，则CD，BD可求?在△ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sin∠ABC?在△BCD中，用正弦定理求∠BCD?可推出BD＝BC?再求t?回到实际问题中去． 规律方法 (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解． (2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量． 1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答． 2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值． 3．解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [审题]　一审条件?：“南偏西60°”转化到△ABC中，即∠BAC＝120°； 二审条件?：“北偏东α”可得∠BCA＝α； 三审条件?：“刚好用两小时追上”指|AC|＝20 海里． 解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28(海里)． [反思感悟] 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利