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考研数学一《线性代数》知识点总结 第一部分 行列式 一、本部分内容重点 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2 ．会用行列式的性质和行列式按行（列）展开法则计算行列式。 二、考点分析 1．行列式是基础，它与后续要学的内容——方阵构成的行列式、逆矩阵、向量组的线性 相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都有重要应用。 所以必须要弄清楚行列式在处理有关问题中的功能与作用，熟练掌握行列式的性质和计算方 法，为应用行列式处理有关问题打下良好的基础。 2 ．计算行列式的常用方法： 1 ）用定义法计算行列式中含某一项的系数； 2 ）应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）； 3 ）将各行（列）加到某一行（列），提取公因式； 4 ）按行（列）展开行列式——降阶法（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题 可用递推关系式法来计算行列式）。 5 ）逐行（列）相加减； 6 ）拆项法——将一个行列式分成几个较简单的行列式进行计算； 7 ）公式法——如对角行列式、范德蒙德行列式等； 8 ）升阶法。 在实际计算过程中，常常将上述方法交替使用。 第二部分 矩阵 一、本部分内容重点 1．理解矩阵的概念。 2 ．了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。 3 ．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算律，了解方阵的幂，掌握方阵乘 积的行列式。 4 ．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩 阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 5 ．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念， 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 6 ．了解分块矩阵及其运算。 二、考点分析 1．矩阵的运算（含逆矩阵）是矩阵考试内容中的重点，其中，又以矩阵乘法和逆矩阵最 为重要。要掌握矩阵运算，除了要理解各种运算的定义外，还要熟练掌握各种运算的运算律 和运算性质。在作矩阵运算时，一般要先利用运算法则通过“字母”运算进行化简。求解矩 阵方程是综合考查矩阵运算的常见题型。 2 ．涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含有伴随矩阵的 矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题，处理有关伴随矩阵问题有两个基本出发点： 一是伴随矩阵的定义，二是关于伴随矩阵的基本公式AA * A *A A E ，由定义及此基本公 式可以推出一些常用的公式，例如： 1 1）A −1 A * （当 时）； A ≠0 A 1 2 ）(A * )−1 A （当 时）； A ≠0 A * n−1 * k n n ≥2 3 ）(kA) k A （ 为常数，A 为任意 （ ）阶方阵）； * n−1 A A n n ≥2 4 ） （A 为任意 （ ）阶方阵）； * * n−2 n n ≥3 5 ）(A ) A A （A 为任意 （ ）阶方阵及任意2 阶可逆方阵）。 3 ．纯粹考矩阵初等变换的试题较少，但矩阵的初等变换是线性代数中用得最多的一种变换， 它在求逆矩阵、求矩阵的秩和向量组的秩、求向量组的最大无关组、求解线性方程组中都有 重要应用，所以必须熟练掌握矩阵的初等变换并能应用它来解决相关问题。 4 ．矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要概念。矩阵的秩有几种等价定义，它既指矩阵 中非零子式的最高阶数，又指矩阵行向量组的秩，还指矩阵列向量组的秩。矩阵 的秩的