3–2空间两点间的距离公式2.docVIP

宝石学校活页课时教案(首页) 班级:高一 科目:数学 周次 教学时间 2011年12月 日 月教案序号 课题 3-2-2 空间两点间的距离公式 课型 练习 教学目标 (识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法.体会数形结合的思想,培养学生积极参与、大胆探索的精神. 空间两点间的距离公式. 一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.1、已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0B. C. D. 提示: 利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法. 已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0a). 1）求MN的长.2）当a为何值时，MN的长最短？并求出|MN|的最小值. 活动：学生思考或讨论，师生共同探讨解题方法，此题的求解方法很多，但利用坐标法求解既简单，又易行，我们必须建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN的长，求|MN|的最小值，我们可构建关于a的函数，利用函数的最值来解决. 解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE,∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直.∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz,如图3. 图3(1)∵正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,CM=BN=a, ∴M(a,0,1a),N(a, a,0).由空间两点间的距离公式得 |MN|==. （2）由本题（1）可知|MN|=,其中0a,所以，当a=时，|MN|最短，|MN|的最小值为.此时，M，N恰为AC，BF的中点. ：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解.在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值. 知能训练 已知A（3，3，1），B（1，0，5），求： 1）线段AB的中点坐标和长度; 2) 到A，B两点的距离相等的点P（x,y,z）的坐标满足的条件. ：通过本题我们可以得出以下两点： ① 空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广，而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例. ② 到A，B两点的距离相等的点P（x,y,z）构成的集合就是线段AB的中垂面. 拓展提升 已知三棱锥P—ABC,PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n). 1) 画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角; 2) 若M为BC的中点，n=m,求直线AM与PM所成锐角. 解: (1)根据已知条件,画空间直角坐标系如图4. 图4以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,则 因为B(m,m,0),所以E(m,0,0), 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=.∴∠BAE=30°, 即直线AB与x轴所成的较小的角为30°. (2)连接AM和PM，∵M(x,y,z)为BC的中点,且B(m,m,0),C(0,2m,0),由中点坐标公式可得x=,y=,z==0,∴M(,,0). ∵A(0,0,0),∴由两点间的距离公式得|AM|==m. ∵P（0,0,2n）且n=m,∴P(0,0,m). ∴|OP|=m,故|OP|=|AM|. ∵∠PAM=90°， ∴∠PMA=45°，即直线AM与PM所成锐角为45°. 课堂小结 1空间两点间的距离公式的推导与理解. 2空间两点间的距离公式的应用. 3建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 作业 习题2-3 组 宝石学校活页课时教案 高中数学必修二 第 5 页 共 5 页 5