2.3.1–2.3.2平面向量基本定理学案.docVIP

2．3.1平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示 【学习目标】【学习重点】 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝________________. (2)基底：把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2. 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个______________a和b，作＝a，＝b，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角． ①范围：向量a与b的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a与b________. ③当θ＝180°时，a与b________. (2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作________． 平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝________，则__________叫做向量a的坐标，__________叫做向量的坐标表示．知识点一　对基底概念的理解 例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．②变式1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号) 知识点二　用基底表示向量 例2　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b试用a，b表示、、. 变式2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，. 【知识点　向量的夹角问题例　已知|a|＝|b|＝2且a与b的夹角为60°则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？变式　　如图已知ABC是等边三角形．(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点求向量与的夹角．知识点向量的例已知O是坐标原点点A在第一象限||＝4xOA＝60°求向量的坐标． 变式4　在直角坐标系xOy中向量ab，c的方向和长度如图所示|a|＝2|b|＝3|c|＝4分别求它们的坐标．知识点　平面向量基本定理的应用例　如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1. 变式　如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量、； (2)若＝λ，求实数λ的值． 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 2．等边△ABC中，与的夹角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．120°3．下面三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以＝e1，＝e2为基底，则等于(　　) A.e1＋e2 B.e1＋e2C.e1－e2 D.e1＋e25．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．56．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________．7．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.8. 如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中