[2017年整理]组合数学课件--第二章第四节 整数的拆分.pptVIP

第2章 递推关系与母函数;2.8：整数的拆分;2.8：整数的拆分;(1)、C(n,r);(3)、从n个不同元素中取r个允许重复的组合; 正整数n的拆分，相当于把n个无区别的球放进n个无区别的盒子，盒子中允许放一个以上的球，也允许空着; 3、拆分算法:递归实现; int divinteger(int n,int m) {if (n1||m1) printf(“error”); else if(n=1||m=1) return(1); else if(nm) return divinteger(n,n) else if(n=m) return(1+divinter(n,n-1)); else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m)); }; 例1 求4的拆分数。; n的拆分数的母函数。; 例2 求1角、2角、3角的邮票可贴出不同数值邮资的方案数的母函数。;2.8：整数的拆分; 例3 求正整数n拆分成1,2,…m的和，并允许重复的拆分数。如若其中m至少出现一次，试求它的方案数及其母函数。; 解2：如果m至少出现一次。;2.8：整数的拆分; 定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数，等于拆分成奇正整数的拆分数？; 解：首先构造r拆分成不同正整数和的拆分序列的母函数： G(x)=(1+x) (1+x2) (1+x3) (1+x4) …; 定理2.8.2 n拆分成其它数之和但重复数不超过2。其拆分数等于它拆分成不被3除尽的数的和的拆分数。; 解：n拆分成重复数不超过2的数之和的拆分数，其母函数为：; 例2-25 n个完全相同的球放到m个无区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中m≤n。; 例6 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中m≤n。; 例7 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中m≤n。; xn-m项的系数是: C(m+n-m-1,n-m)=C(n-1,n-m)=C(n-1,m-1) 因此。方案数为C(n-1,m-1);2.9 费勒斯（Ferrers)图像;2、费勒斯（Ferres)图像的性质：;2.9 费勒斯（Ferrers)图像;定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。;定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。;推论:正整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，等于将n拆分成最大数不超过m的数的拆分数。;拆分成正好m个数的拆分数。; 定理2.9.2 整数n拆分成互不相同的若干奇数和的拆分数，与n拆分成有自共轭费勒斯图像的拆分数相等。这里所讲的自共轭费勒斯图像是指共轭图像与原图像一致。; 例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭费勒斯图像。; n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1) ; 例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。