[2017年整理]第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+答案.docVIP

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类，2012） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) (2) 解： （令） (3) 设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数. 求是函数，、是自变量。将方程两边同时对求导， ，则 ，于是 (4) 求不定积分 (5) 求曲面和所围立体的表面积，，解得两曲面的交线所在的平面为， 它将表面分为与两部分，它们在平面上的投影为， 在上 在上 则 二、（本题13分）讨论的敛散性，其中是一个实常数. ① 若，；则发散 ② 若，则，而；所以 发散。 ③ 若，即 ，考 级数敛散性即可 当时， 对任何，我们有 这样，存在 ，使得 . 从而可知，当，时，所讨论的积分收敛，否则发散。 三、（本题13分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得，,且求证：在上，在上无穷次可微，，所以 （*） 由 ，， 得 ， 于是 由罗尔定理，对于自然数在上，存在，使得 ，且 这里 在上，对应用罗尔定理，存在 ，使得 ，且 于是 类似的，对于任意的，有 有（*） 四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） 设D为椭圆形，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点 (其中)垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J； 2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.1. 设J固定是确定的隐函数，则 ，对关于求导， 五、（本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定, L为正向单位圆周. 试求：又：连续可微函数由方程求偏导数： 两边同时对求偏导数： 代入上式： 六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） (1)求解微分方程 (2)为上述方程的解，证明