2012新高考全案第二章函数与基本的初等函数第四讲函数的奇偶性及周期性.pptVIP

1．奇函数、偶函数定义 (1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ；即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互为相反数，那么函数f(x)就叫做奇函数． (2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等．那么函数f(x)就叫做偶函数．;2．奇函数和偶函数的性质 (1)奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称． (2)偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在(－b，－a)上 ，奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的增减性 ．; 4．周期函数定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，T为函数的一个周期．; 1．(2010·广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 [解析]　f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)． [答案]　B;[答案]　C;3．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 [解析]　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.故选D. [答案]　D; (4)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)． ∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．;(5)函数的定义域为R. 当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋1.有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． 当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－2|a|＋1. f(a)≠f(－a)． 且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋1) ; [点评与警示]　判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定义域，并视定义域是否关于原点对称．只有定义域关于原点对称，才有验证是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的必要．; 　已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间[0,1)上是增函数，若有不等式f(a－2)－f(3－a)0成立．求实数a的取值范围．; [点评与警示]　本例题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题的一般思路有两条：一是就a－2与3－a的符号进行分类讨论(过程繁琐)；二是利用偶函数的性质f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．而得到“|x1||x2|?f(x1)f(x2)”．; 已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间(－1,0]上是减函数，若有不等式f(a－2)－f(a－3)＜0成立，求实数a的取值范围．;[分析]　(1)通过建立方程，求出a、b的值．确定f(x)的解析式．(3)利用函数的单调性脱掉“f”． ; [点评与警示]　(1)如果一个奇函数在x＝0处有定义．那么f(0)＝0. (2)解不等式f(t－1)＋f(t)0时，注意函数定义域对t的限制．;　已知奇函数f(x)定义在R上，其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)当x∈[－1,0)时，求f(x)的表达式； (2)证明f(x)是周期函数，并求出它的一个周期； (3)当x∈[4,5]时，求f(x)．;[解]　(1)当－1≤x0时．－x∈(0,1]，而f(－x)＝2－x－1，且f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1. (2)因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝ f(2－x)，用－x替换x，就有f(－x)＝f(2＋x)．由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，进而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．可知f(x)是周期函数，4是它的一个周期． (3)当4≤x???5时，0≤x－4≤1.所以f(x－4)＝2x－4－1. 而f(x－4)＝f(x)，所以f(x)＝2x－4－1(x∈[4,5])为所求．;[点评与警示]　(1)已知奇函数f(x)的图象关于x＝a对称，则f(x)是周期函数，且4a为其中的一个周期；若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则2a为其中的一个周期． (2)注意