13第3章节与第4章节习题课.pptVIP

习题课 第四章习题三选讲 一.4. 方程组 有解,则常数 a1, a2, a3, a4应满足: a1+ a2+ a3+ a4 = 0 二.选择题 1.对n元方程组,下列结论正确的是( ) 若Ax = 0只有零解, 则Ax = b有唯一解. Ax = 0有非零解的充要条件是|A| = 0 Ax = b有唯一解的充要条件是R(A) = n 若Ax = b有两个不同的解, 则Ax = 0有无穷多解. 反例: (矛盾方程) 2. 设1, 2, 3是Ax = 0基础解系,则该方程的基础解系还可以表示成( ) 1, 2, 3的一个等价向量组 1, 2, 3的一个等秩向量组 1 +2, 2 + 3, 3 + 1 1 - 2, 2 - 3, 3 - 1 未必线性无关 未必是方程的解 3. 设1, 2, 3是方程组Ax = b的三个解向量, 并且R(A) = 3, 1 = (1, 2, 3, 4)T, 1 + 2 = (0, 1, 2, 3)T, k表示任意常数,则线性方程组Ax = b的通解为( ) (1, 2, 3, 4)T + k(1, 1, 1, 1)T (1, 2, 3, 4)T + k(0, 1, 2, 3)T (1, 2, 3, 4)T + k(2, 3, 4, 5)T (1, 2, 3, 4)T + k(3, 4, 5, 6)T 四. 求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为1 = (0, 1, 2, 3)T, 2 = (3, 2, 1, 0)T. 解: 设所求的方程为: 则(a1,1, a1,2, a1,3, a1,4)T和(a2,1, a2,2, a2,3, a2,4)T皆是方程组 的解. 即: ,令y2=3c1, y3 = 3c2 特别选取: 所求的方程为: 五. 设n阶方阵A满足A2 = A, E为n阶单位方阵, 证明: R(A) + R(A – E) = n. 证明: 记R(A) = r, R(A – E) = m 由A(A – E) = O, 即 得到: 皆是齐次方程Ax = 0的解, 而该方程的解空间的维数为n – r, 所以有: 故R(A) + R(A – E)  r + n – r = n …………(1) 记 由: -E = (A – E) – A 得到: …………….(2) 综合(1)、(2)得到：R(A) + R(A – E) = n 七. 设*是非齐次线性方程组Ax = b的一个解, 1, 2, …, n-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明: *, 1, 2, …, n-r线性无关 *, * + 1, …, * + n-r线性无关 证明: 由于1, 2, …, n-r是对应的齐次线性方程 组的一个基础解系 ,所以1, 2, …, n-r线性无关. 倘若*, 1, 2, …, n-r线性相关, 则*可以被1, 2, …, n-r线性表示, 这与*是非齐次方程组的一个解相悖! 故*, 1, 2, …, n-r线性无关. 设 即 由于*, 1, 2, …, n-r线性无关, 所以有: 即: 也就是说: *, * + 1, …, * + n-r线性无关. 第三章与第四章测试题选讲 一.2. 若方程组 有解, 则k = 3. 已知1, 2, 3线性无关, 则向量组1 - 2, 2 - k3, 3 - 1也线性无关的充分必要条件是 令: 即: 该方程仅有零解的充分必要条件是k  1 二. 选择题 1. 设R(A) = r, 则n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充要条件是( ) r = n r  n r n r n. n元齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件. 不可能出现的情况 2. 设n阶方阵A经初等变换后所得矩阵记为B, 则( ) |A| = |B| |A|  |B| |A||B| 0 若|A| = 0, 则|B| = 0 一般来说, 第一类和第二类初等变换都改变行列式的值. 而第三类初等变换不改变行列式的值. 初等变换不改变矩阵的秩. |A| = 0等价于R(A) n, 故R(B) n, |B| = 0 4. 设A为n阶方阵, 且R(A) = n – 1, 1, 2为Ax = 0的两个不同解, 为非齐次方程Ax = b的非零解, 则Ax = b的通解为( ) k1 +  k2 +  k(1 - 2) +  k(1 + 2)