复变函数4.3_4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开.pptVIP

§4.3 解析函数的泰勒展开 4.3.1 泰勒级数展开定理 §4.4 罗朗级数 4.4.1 罗朗级数的概念 4.4.2 函数的罗朗级数展开 1 泰勒级数展开定理 2 将函数展开成泰勒级数 实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是 非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质 以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛 圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析 函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —亦即泰勒级数. 这是解析函数的重要特征. R为 到D边界的距离 定理4.9 (Taylor展开定理) 设 在区域D 内解析, 为D内的一点, . R (D是全平面时, R=+?), 则 在 内可 展开为幂级数 其中 上述的幂级数称为 在 的泰勒级数(展开式). 综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的 重要性质： 定理4.10 函数 f (z) 在z0处解析的充要条件是 f (z)在z0的某邻域内有泰勒展开式. 这是解析函数的重要特征. 泰勒展开式的唯一性 设复变函数 f (z) 是 D内的解析函数, z0是 D内的一点，且在 内可展成幂级数 则这个幂级数是 在 的泰勒级数，即 注： 这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接 方法奠定了基础. 4.3.2 将函数展开成泰勒级数 将函数展开为泰勒级数的方法: 1. 直接方法; 2. 间接方法. 1. 直接方法 由Taylor展开定理直接计算级数的系数 然后将函数 f (z) 在z0 展开成幂级数. 例4.4 求 在 的泰勒展开式. 所以它在 处的泰勒级数为 并且收敛半径 解: 因为 在复平面上解析，且 2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 . 例4.5　利用 并且收敛半径 同理 本例利用直接方法也很简单 以及 可求得 和 解：　 是 的唯一奇点, 且 故收敛半径 在 中，用-z替换 z, 则 逐项求导，得 例 4.7　将 展开为z的幂级数. 令 则 解：根据例4.6， 例4.8 　将函数 在 处展开成 泰勒级数，并指出该级数的收敛范围. 当 即 时, 解：先对函数进行代数变形，即 附: 常见函数的Taylor展开式 1 罗朗级数的概念 2 函数的罗朗级数展开 3 典型例题 如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可 展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果 f (z)在圆环域 内解析, 则 f (z)在这 个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数, 即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数 及Z变换理论中起重要作用. 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 这种双边幂级数的形式为 同时收敛 罗朗级数 收敛 收敛半径R 收敛域 收敛半径R2 收敛域 两收敛域无公共部分; 两收敛域有公共部分 结论: . 常见的特殊圆环域: . . . 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析. (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于罗朗级数，已经知道： 罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数? 对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题: 定理4.12(Laurent展开定理) 设 　 函数f (z)在圆环域 内解析, 则函数f (z) 在此圆环域内可展开为罗朗级数 其中 曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线. 注: 函数f (z)展开成罗朗级数的系数 与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同, 但 这里的函数f (z)在圆环域 内解析, 在 内不一定解析, 所以不能化为z0处的导数 特别地, 如果函数 f (z)在 内 解析, 那么根据柯西-古萨定理, 所以罗朗级数包含了Taylor级数. 罗朗展开式的唯一性 设函数f (z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析，并且可以展开成双边幂级数 则系数为 注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的, 因此为 函数展