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地下水运动基本定律、基本微分方程及数学模型
双层结构含水层 河谷双层结构,上层的渗透系数往往比下层的小得多,此时可将地下水分成两部分考虑,上部当作潜水,下部当作承压水考虑,通过整个含水层的单宽流量为上层和下层流量的总和。 第三节 地下水稳定流 岩层透水性沿水平方向急剧变化的含水层 根据水流连续性原理,通过二种透水性不同的岩层流量应当相等。 第三节 地下水稳定流 本章小结 达西定律:理解达西定律的涵义、 适用范围 地下水运动微分方程:推导过程、承压水与潜水运动方程的异同 地下水模型:微分方程+定解条件 因此,在Δt时间内,单元体增加的水量为: 单元体内水占的体积为nΔxΔyΔz,n为孔隙率,其水量为ρnΔxΔyΔz。在Δt 内,单元体的水量变化为 第二节 数学模型 根据达西定律,水流流速在X、Y、Z方向有 第二节 数学模型 地下水渗流连续性方程 表示:在渗流场中的任何局部,都必须满足质量守恒和能量守恒。 第二节 数学模型 对于稳定渗流,且假定n、ρ不变,则为地下水稳定流的连续性方程: 第二节 数学模型 (3)承压含水层的基本微分方程 在承压含水层中,含水层产生变形时,主要是在垂直方向(Δz)上,而Δx、Δy近似为不变,因此,连续性方程为 第二节 数学模型 第二节 数学模型 (用到水的状态方程、含水层骨架压缩的状态方程) 承压含水层三维非稳定渗流的微分方程 第二节 数学模型 若承压含水层水平等厚,渗透水流作水平二维流,则有: 第二节 数学模型 对均质各向同性的承压水作二维非稳定流时 对均质各向同性的承压水作二维稳定流时 第二节 数学模型 对于有注水或抽水时,ε表示单位时间对单位面积含水层抽出或注入的水量,则 均质各向同性非稳定承压二维流 第二节 数学模型 (4)潜水含水层的基本微分方程 潜水含水层的顶部是潜水面,在非稳定渗流的过程中潜水面的位置在不断变化中,因此要精确处理这类问题比较困难,但实际问题中,地下水流接近水平流动,潜水面也比较平缓.因此,可作出一定假定条件来近似求解,即裘布衣假定。 第二节 数学模型 潜水面比较平缓,为缓变流; 渗流速度的水平分量u、v沿z高度没有变化,仅为x、y坐标和时间t的函数,即垂直流速可忽略不计或水头不随深度变化; 过水断面近似为一个垂直平面。 第二节 数学模型 裘布衣假设: dx ε H h x z dt时间内,从上游断面流入的水量: 第二节 数学模型 从下游断面流出的水量: 从地表水渗的水量: Δx土体水量增量是: 第二节 数学模型 水量的变化会引起潜水面的上升或下降,在dt时间内潜水面变化: 第二节 数学模型 其对应的dx含水层水的体积变化量: 水量平衡: 第二节 数学模型 潜水二维流的微分方程: 布西涅斯克方程 第二节 数学模型 承压水二维流的微分方程: 形式相似,意义有所差别 当水头变化很小时,即ΔH0.1h时,对均质各向同性的潜水有 T=Kh h为潜水含水层平均厚度 第二节 数学模型 若隔水底板水平,以隔水底板为基准面,此时有,H=h,当无其他补给和排泄时,均质各向同性的潜水二维稳定流方程为: 第二节 数学模型 (5)定解条件和数学模型 初始条件 开始时刻水头函数在渗流场的分布规律,如果开始时刻渗流场内任意一点的水头已知为H0,则初始条件的数学表达式为: 第二节 数学模型 注:对于稳定流来说,定解条件中没有初始条件,因为地下水作稳定流时其运动要素是不随时间而变化的。 边界条件 是指在各个计算时刻,边界上某些函数的变化规律是已知的。边界条件主要有两种: 第二节 数学模型 ①第一类边界条件(已知水头边界,Dirichlet条件) 是指待求的水头函数H(x,y,z)在边界? 1上的变化规律是已知的,其数学形式为 如:河流作为含水层的边界,其水位已知,就可作为一类边界处理。 第二节 数学模型 ②第二类边界(已知流量边界,Neumann条件) 边界上单位宽度的流量是已知的即为二类边界? 2 ,其数学表达式为: q-单位宽度流量; n-边界? 2的内法线方向(指向渗流场) 第二节 数学模型 当边界为隔水边界时,则 第二节 数学模型 当内边界为抽水井壁时,抽水流量已知: 微分方程与定解条件结合在一起称为数学模型或定解问题。数学模型的求解方法有: 1、解析解:用数学方法直接求出数学模型的解,这种解称解析解,也是数学模型的精确解。 2、数值解:把数学模型中的连续变量离散成离散变量,再进行求解,这种方法称数值解,求得的解为近似解。 第二节 数学模型 第三节 含水层中地下水的稳定流 承压含水层地下水的一维渗流 有一承压含水层均质,水平等厚,地下水的流线为相互平行
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