哈工大概率论小论文数字特征.docxVIP

概率论中的数字特征 班级： 学号： 姓名： 摘要：随机变量的概率分布（分布函数或分布列和概率密度）能够完整地描述随机变量的统计规律。但在许多实际问题中，求概率分布并不容易；另一方面，有时不需要知道随机变量的概率分布，而只需要知道它的某些数字特征就够了。数字特征虽然不像概率分布那样完整地描述了随机变量的统计规律，但它能集中地反映随机变量的某些统计特征，而且许多重要分布中的参数都与数字特征有关，因而它在概率论与数理统计中占有重要地位。本文主要讨论的数字特征有：数学期望、方差、协方差、相关系数。 关键字：随机变量；数学期望；方差；协方差；相关系数；矩 1、数学期望 1.1、数学期望的起源 早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做 HYPERLINK /view/483494.htm \t _blank 布莱士·帕斯卡，一个叫做 HYPERLINK /view/5194.htm \t _blank 费马。帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。 为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4,当然，B就应该得1/4。 数学期望由此而来。 1.2、数学期望的计算与性质 1.2.1、离散型随机变量的数学期望 设是离散型的随机变量，其概率函数为 如果级数绝对收敛，则定义的数学期望为 ； 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分绝对可积，则定义的数学期望为 ． 　 1.2.2、随机变量函数的数学期望 　　设为离散型随机变量，其概率函数 如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为 设为二维离散型随机变量，其联合概率函数 如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为 ； 特别地. 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为 ． 设为二维连续型随机变量，其联合概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为 ； 特别地 , . 1.2.3、数学期望的性质 (其中c为常数)； (为常数)； ； 如果与相互独立，则. 2、方差与标准差 2.1、方差的定义 2.1.1、基本定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。 即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之) 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小, 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。 2.1.2、数据波动 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 2.2、方差的计算与性质 2.2.1、方差的计算 随机变量的方差定义为 ． 计算方差常用下列公式： ’ 当为离散型随机变量，其概率函数为 如果级数收敛，则的方差为 ； 当为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分收敛，则的方差为 . 随机变量的标准差定义为方差的算术平方根. 2.2.2、方差的性质 (c是常数)； (为常数)； 如果与独立，则. 3、协方差 3.1、协方差的定义 在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实数随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义为： 直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期