6_2定积分在几何上应用.pptVIP

函数与极限 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 平面图形的面积 一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题 一、直角坐标系情形 三、小结 体积 一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 三、小结 思考题 一、旋转体的体积 三、小结 平面曲线的弧长 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 解 x a 圆上任一点所画出的曲线。 旋轮线（摆线） 一圆沿直线无滑动地滚动， x 来看动点的慢动作 . 圆上任一点所画出的曲线。 旋轮线（摆线） 一圆沿直线无滑动地滚动， 2a 2?a 0 y x ?a x = a (t – sint) y = a (1– cost) t 的几何意义如图示 t a 当 t 从 0 ? 2?，x从 0 ? 2?a 即曲线走了一拱 a 圆上任一点所画出的曲线。 旋轮线（摆线） . 一圆沿直线无滑动地滚动， 旋转体的体积为 一、旋转体的体积 y+dy y 思考题解答 交点 立体体积 思考题 y+dy y 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 二、平行截面面积为已知的立体的体积 x A(x) dV=A(x)dx x 已知平行截面面积为 A(x)的立体 . a V 平行截面面积为已知的立体的体积 b o y R x x y –R R . . . . y tan? ? ? 问题： 还有别的方法吗？ (x, y), 截面积 A(x) . 例5：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 . o y R x –R R 方法2 . 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 o y R x –R R 方法2 A B C D ? BC DC . . . . 截面积 S(y) (x, y) = 2x = ytan? . S(y) . 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 h R x o x A(x) A(x) V = . . . . –R y . 例6：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。 y 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 不讲 弧长元素 弧长 解 所求弧长为 s l 解 所求弧长为 曲线弧为 弧长 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 * 返回 曲边梯形的面积 由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积: 解 3) 面积元素 2) 选x为积分变量, 解方程组 即这两个抛物线的交点为： x x+dx 1) 求出两抛物线的交点. 讨论：由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy, 解 两曲线的交点 选 为积分变量 y+dy y 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． o ?(? ) ? ? +d? r =?(? ) 面积元素 以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素： . . ? 二、极坐标系情形 dA 曲边扇形的面积 . r ? 曲边扇形是由曲线r??(?)及射线???, ???所围成的图形. d? 例4: 计算阿基米德螺线 r = a? (a 0) 上相应于? 从0到2? 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. o x ? r = a? 2?a 解: 取极角?为积分变量, 变化区间为[0, 2? ], 取小区间 [?, ? + d? ]，则 面积元素 0 r r =a? 曲线可以看作这种点的轨迹： 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 阿基米德螺线 0 r 曲线可以看作这种点的轨迹： 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 . 阿基米德螺线 r =a? 0 r 曲线可以看作这种点的轨迹： 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 . 阿基米德螺线 r =a? r 这里? 从 0? + 8 r =a? 0 2?a 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数 . 阿基米德螺线 0 r 8 当? 从 0? – r =a? . 阿基米德螺线