20163.1多维随机变量及其分布.pdfVIP

教学要求： 1. 了解二维随机变量的概念、联合分布函数及性质; 2. 了解二维离散型随机变量的联合分布律及性质; 3. 了解二维连续型随机变量的联合概率密度及性质; 4. 会用（1、2、3）计算有关事件的概率. 一. 二维随机变量及分布函 数 二. 二维离散型随机变量的 概率分布 三. 二维连续型随机变量的 概率密度 四. 常用的二维分布 五. n维随机变量的几个概念 前面我们讨论了一个随机变量的情况,但在实 际问题中，某些随机试验的结果需要同时用 两个或两个以上的随机变量来描述。例如， 为了研究儿童的身体发育情况，需要同时考 虑身高X 和体重Y. 又如，考察某地区的气候 情况，需要同时考虑气温X1，气压X2，风力 X3和湿度X4四个随机变量. 本章着重讨论二维随机变量, 它的很多结论 不难推广到n 大于2的情形. 随 随机变量的概念 定义在样本空间的单值实函数。 机 分布函数 变 量 性 质 及 分 布 函 数 X落在区间内的概率 离 离散型随机变量：分布律 连续型随机变量：概率密度 散 定 义 型 随 机 性 质 变 量 和 连 与分布函数的关系 续 型 随 机 X落在区间内的概率 变 量 一、二维随机变量及分布函数 1. 二维随机变量的定义 设随机变量X和Y是定义在同一样本空间S上的两个 随机变量,则由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维 随机向量或二维随机变量. 2. 二维随机变量的分布函数 设(X ,Y )是二维随机变量 ,?x, y ? R,称二元函数 F(x, y) ? P{X ? x,Y ? y} 为二维随机变量 (X ,Y )的分布函数或联合分布 函数. 注意: (1) {X ? x,Y ? y} ? {X ? x} ? {Y ? y}; (2) F(x, y)的定义域为整个平面区 域; 几何意义： 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标， 则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值F(x0,y0)就表示 随机点(X,Y)落在区域 -∞＜X≤ x0， -∞＜Y≤ y0 中的概率。如图阴影部分： y (x0,y0) x O 2 对于(x1, y1), (x2, y2)?R , (x1 x2， y1y2 )，则随机点 (X,Y)落在矩形区域[x1X? x2，y1Y?y2]内的概率可用分 布函数表示为 P(x1X? x2，y1Y?y2) ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1) y (x2, y2) y2 (x1, y1) y1 O x1 x2 x 3. 二维随机变量的分布函数的性质 (1) F(x, y)分别对x或y单调不减,即 当x1 ? x2时,F(x1, y) ? F(x2 , y); 当y1 ? y2时,F(x, y1) ? F(x, y2 ). (2) 0 ? F(x, y) ? 1,且 F(??, y) ? lim F(x, y) ? 0, x??? F(x,??) ? lim F(x, y) ? 0, y??? F(??,??) ? lim F(x, y) ? 0, x??? y??? F(??,??) ? lim F(x, y) ?1. x??? y??