数学：2.1.3《函数的单调性》课件(新人教b版必修1).pptVIP

2．1.3　函数的单调性;知识整合;1．增函数和减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间________． 如果取区间M中的任意两个值x1，x2，当改变量________时，有Δy＝f(x2)－f(x1)0，那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如下图(1)． 当改变量________时，有Δy＝f(x2)－f(x1)0，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如上图(2)．;2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有________(区间M称为________)． 3．用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1x2. (2)作差变形(变形方法：因式分解、配方、分子有理化等)或作商变形． (3)判断差的正负或商与1的大小的关系． (4)结论．;4．单调性的判定方法 (1)定义法． (2)对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，则y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数；若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为________．若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相反，则y＝f[g(x)]为________．;答案：1.M?A　Δx＝x2－x10　Δx＝x2－x10 2．增函数　减函数　单调性　单调区间 4．增函数　减函数　5.减函数　增函数 增(或减)函数　增函数　减函数　减函数　增函数;名师解答;1．要正确理解单调性的定义，应该抓住哪几个重要字眼？ (1)第一关键——“定义域内” 研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先原则．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集．函数y＝x2的定义域为R，但函数y＝x2在区间(－∞，0]上是递减的，在区间[0，＋∞]上是递增的．;(2)第二关键——“某个区间” 增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性．我们不能说一个函数在x＝5时是递增或递减，因为这时没有一种可比性，没突出变化．所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数．比如二次函数y＝x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能单一说y＝x2是增函数或是减函数，必须加上区间进行区别． 当然，有些函数在其整个定义域内单调性一致，如y＝x，我们会说y＝x在定义域内是增函数．此时，“在定义域内”常被忽略，这就是说法上的一种错误了． ;(3)“任意”和“都有”别忽略 在定义中，“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)． 对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：考察函数y＝x2，在区间[－2,2]上，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1x2.而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)f(x2)，若由此判定y＝x2在[－2,2]上是减函数，那就错了．;同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)f(x2)；从上例我们可以看到对于x1x2，f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2)．因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增函数或减函数．;2．如何求函数在某闭区间上的最值？ 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上具有单调性，那么它在这个区间上必取得最大值和最小值．即当f(x)在[a，b]上递增时，ymax＝f(b)，ymin＝f(a)；当f(x)在[a，b]上递减时，ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 如果函数y＝f(x)在给定的闭区间[a，b]上不具有单调性，那么也就没有上述确定的结论了，那就要具体问题具体分析了．;深入学习;分析：证明的关键是作差变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积的形式．;评析：(1)在“作差变形”中，我们尽量化成几个最简因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和的形式，这也是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种方法． (2)证明题要注意详细写出解题步骤，要一个步骤解决一个问题就行了．有的同学往往想省略必要的步骤，想一个步骤表达两个或更多的内容，结果往往导致错误．俗话说“饭要一口一口地吃”，用在数学上就是“题要一步一步地解”，这是很有必要的． (3)这是最基本的题型，所用的方法也是最基本的方法：定义法——①取值；②作差变形；③判断符号；④下结论．;分析：先确定函数定义域，然后利用定义证明．;