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分数阶PI入D u控制器数字实现与参数优化 Digital realization and parameter optim ization of fractional-order PI D controller 郑 翠，赵 慧，蒋 林，李 苑 ZHENG Cui，ZHAO Hui，JIANG Lin，LI Yuan (武汉科技大学 机械自动化学院，武汉430081) 摘 要：分数阶微积分最优Oustaloup数字实现时，寻优性能指标内调整因子的选取会影响优化后频域 近似精度。针对常用分数阶算子最优Oustaloup滤波器近似，结合MATLAB最优工具箱函数， 获得不同调整因子下的最优近似频率特性曲线，并与实际值曲线对比找出最佳拟合曲线，来 得到最佳调整因子。实例验证表明，采用最佳调整因子的最优Oustaloup滤波器算法，能有效 提高PI D“控制器参数的优化效果，使控制系统具有更快的响应速度和更好的稳定性。 关键词：数字实现；最优Oustaloup算法；调整因子；Pl D”控制器；参数优化 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1 009—01 34(201 5)02(下)一0009—03 Doi：1 0．396~l／i．1ssn．1 009-01 34．201 5．02(下)．04 0 引言 二十世纪末，I．Podlubny⋯提出了分数阶PI D 控制 器，使得研究者的视角从分数阶理论研究转移到应用研 究上，尤其是更加关注PI D ，而其中微积分算子 “的 有理函数近似作为分数阶PI D 控制器计算机实现基 础，近年来得到越来越受到研究者们的关注。 在数字实现算法方面，王振滨、曹广益、曾庆山等 运用Grtinwald-Letnicov定义，取有限项作近似处理，并利 用z变换方法来计算分数阶PI D 控制器。曹军义、曹 秉刚口 将分数阶控制器的梯形算子连分式展开法和短记 忆法进行对比研究，得出前者更优的结论。但由于短记 忆法，梯形算子的连分式展开法等在频域上近似精度都 不够高，故在实际应用中并不广泛。 2000年，Oustaloup A，Levron F，Mathieu B等 提 出了在频域具有较高拟合度，并能对未知信号进行数值 微积分处理的OustMoup滤波器法，而齐乃明，秦昌茂， 王威 基于Oustaloup滤波器端点拟合效果不好的问题， 提出了最优Oustaloup滤波器法。然而，最优Oustaloup 滤波器算法中调整因子往往是根据经验取值，因此难以 得到更优的频域近似效果。 本文首先简述了Oustaloup滤波器及最优Oustaloup 数字算法实现过程，然后基于最优Oust~oup滤波器算法 并结合MATLAB函数，研究性能指标内调整因子的变 化对优化后频域近似精度的影响，总结得出常见分数阶 算子最优Oustaloup数字实现对应的最佳调整因子。最后 以三阶电液位置伺服系统为实例进行建模仿真，验证了 基于最佳调整因子的最优OustMoup算法的控制系统具有 更好的性能。 1 最优Oustaloup数字实现 纯微分的频域特性是斜线，滤波器只能在有限频段 内实现微分器逼近 。分数阶微分算子 在(w ，W )频 率段内的Ousta1oup滤波器近似表达式G。(s)、零极点表 达式 、 如下： Go∽= 兀Ⅳ-一Ⅳ ⋯ k+N+O．5—0．5 = ( ) (1) ⋯ k+N+O．5+0．5 ： ( ) 其q~2N+l为滤波器阶次，增益 = 。 在Oustaloup滤波器G。(s)之前增加一个滤波器 G (s)，可以得到 的最优Oustaloup滤波器实现 ，其表 达式如下所示： s ( ) ( ) (2) 设G (s)满足下列形式： ㈤： (3) 寺苗 其中ml，m2，m3，m4，m5，m6为增加滤波器的优 化参数。 为提高分数阶算子近似滤波器的频域近似精度，通 过编程求得分数阶算子 与近似滤波器的幅频函数和相 频函数，选取两者的幅频差及相频差作为性能指标，并 收稿日期：2014-10-21 基金项目：国家 自然科学基金 作者简介：郑翠 (1989一)，女，湖北黄冈人，硕士研究生，研究方向为分数阶PID控制。 第37卷 第2期 2015-02(下) [Ol 学兔兔 利用MATLAB编程来进行增加滤波器G (s)参数寻优。 性能指标J如下式所示： J=f2(alM．(W)一Mdw)l+(1一口) (w)一02(w)l (4) 其中M (w)，01(w)为分数阶算子实际幅频与相频函 数，M：(w)， 0：(w)为分数阶算子整数阶近似的幅频与相 频函数，a为幅频差及相频差函数的调整因子，取值范 围为0～1。 2 最佳调整因子 分数阶算子最优Oustalo