2015-2016学年北师大版必修五余弦定理教案教程.doc

教学设计 1．2　余弦定理 整体设计 教学分析　　　　　 对余弦定理的探究，同正弦定理类似．课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解决问题中的威力，另外还有坐标法．在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证的目的． 应用余弦定理并结合正弦定理，可以解决以下解三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边和一个角解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的变形公式，也可以用正弦定理．用余弦定理的变形公式，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小． 三维目标　　　　　 1．通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．了解余弦定理与勾股定理之间的联系．知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法． 2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美． 3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握． 重点难点　　　　　 教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形． 教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形． 课时安排　　　　　 1课时 教学过程 导入新课　　　　　 思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受． 图1 思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？ 推进新课　　　　　 \a\vs4\al\co1(新知探究) \a\vs4\al\co1(提出问题) ①在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？ ②余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？ ③余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？ ④正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？ 活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般． 解决了在三角形已知两角一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题．当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决．如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题． 如图1，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试利用b，c，A来表示a. 教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CD⊥AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD，DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边的关系表示，DB可利用AB－AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下