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期末复习压轴题精选解析版 绿色部分是超纲的内容，可以不用掌握。 一、几何 1、如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， 绿色部分是超纲的内容，可以不用掌握。 ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45° ． 2、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF． （1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（ 2）如图1，求证：HF=EF； （3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由． 【解答】 解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°， ∴∠ABC=30°， ∴AB=2AC=2×2=4， ∵AD⊥AB，∠CAB=60°， 绿色部分是超纲的内容，可以不用掌握。 ∴∠DAC=30°， ∵AH=AC= ∴AD=2， ∴BD==2；， （2）如图1，连接AF， ∵AE是∠BAC角平分线， ∴∠HAE=30°， ∴∠ADE=∠DAH=30°， 在△DAE与△ADH中， ， ∴△DAE≌△ADH， ∴DH=AE， ∵点F是BD的中点， ∴DF=AF， ∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB ∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，∴∠EAF=∠FDH， 在△DHF与△AEF中， ， ∴△DHF≌△AEF， ∴HF=EF； （3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM， 在Rt△ADE中，AD=2AE， ∵DF=BF，AM=BM， ∴AD=2FM， ∴FM=AE， ∵∠ABC=30°， ∴AC=CM=AB=AM， ∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°， 在△ACE与△MCF中， ， ∴△ACE≌△MCF， ∴CE=CF，∠ACE=∠MCF， ∵∠ACM=60°， 绿色部分是超纲的内容，可以不用掌握。 ∴∠ECF=60°， ∴△CEF是等边三角形． 3、如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE． （1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC