第3讲衔接知识点的专题强化训练.docVIP

专题二：因式分解 第一部分：高中课标要求 高中数学中,代数式的恒等变形是非常重要的数学变换,其中因式分解尤为重要。根据需要,对一些式子整体分解或局部分解，是高中数学学习中同学们必须具备的基本技能。但由于初中阶段新的课程标准中对因式分解较以往的标准降低了要求, 只是用提取公因式、公式法来因式分解。所以对刚上高中的同学来说,在代数式恒等变形学习中会遇到或多或少的困难。 第二部分：知识回放 因式分解是一种重要的恒等变形，在初中人教版教材中有明确定义，是把一个多项式化为几个整式积的形式.它与整式乘法是两个互逆的变形过程，它的学习是在整式四则运算的基础上进行的，是进行代数式恒等变形的重要手段之一。它不仅在一些简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程、无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义 第三部分 教学策略 一、 因式分解在高中数学中的地位与分析 高中数学课程中，代数式的恒等变形常要用到因式分解，特别是十字相乘法、分组分解法、添项法和补项法等多有涉猎，而初中并没有明确提出。我们应在学生能掌握课本所给的方法的前提下，补充一些因式分解的方法及技巧，如分组分解法、求根公式法、十字相乘法等。对于公式法中的立方差、立方和公式、配方法也可以让学生了解。 二 、方法与技巧 1．用公式法分解因式 (1)平方差公式 （初中已讲） (2)完全平方公式 （初中已讲） (3)立方和与立方差公式 a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2） 例1：分解因式(x+y)3+1． 解：原式=[（x+y）+1][（x+y）2-（x+y）+1] =（x+y+1）（x2+2xy+y2-x-y+1） 例2：(x+1)6-(x-1)6． 解：原式=[（x+1）3]2-[（x-1）3]2 =[（x+1）3+（x-1）3][（x+1）3-（x-1）3] =2x[（x+1）2-（x+1）（x-1）+（x-1）2] ×2[（x+1）2+（x+1）（x-1）+（x-1）2] =4x（x2+3）（3x2+1）． 跟踪练习:分解因式(z-x)3-(y+z)3． 2．十字相乘法 用竖式乘法帮助把二次三项式分解因式的方法，叫十字相乘法，也叫观察法．用式子表示为a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 例题:分解因式m4+14m2-15． 解:原式=(m2+15)(m2-1) =(m+1)(m-1)( m2+15) 跟踪练习: 分解因式 (1)x2+4xy+3y2 (2)x2y2-18xy+65 (3)15x2+4xy-91y2 3．分组分解法 例: 分解因式ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a) 解: 原式=ab(a－b)+c[b(b－c)+a(c－a)] 　　　　　　=ab(a－b)+c(b2－bc+ac－a2) 　　　　　　=ab(a－b)+c[(b2－a2)－(bc－ac)］ 　　　　　　=ab(a－b)+c[(b－a)(b+a)－c(b－a)］ 　　　　　　=ab(a－b)+c(b－a)(a+b－c) 　　　　　　=ab(a－b)－c(a－b)(a+b－c) 　　　　　　=(a－b)[ab－c(a+b－c)] 　　　　　　=(a－b)[ab－ac－bc+c2］ 　　　　　　=(a－b)[(ab－ac)－(bc－c2)］ 　　　　　　=(a－b)[a(b－c)－c(b－c)］ 　　　　　　=(a－b)(b－c)(a－c)． 跟踪练习: 分解因式 (1)ab-a-b+1． (2)x4-2y4-2x3y+xy3 (3)x4－2y4－2x3y＋xy3 (4)m2－a2＋4ab－4b2 4．添项或拆项分组法 例 :分解因式 x3－3x+2 解:原式=(x3－x2)+(x2－x)－(2x－2) =(x－1)(x2+x－2) =(x－1)2(x+2)　 跟踪练习: 分解因式ab2-ac2+4ac-4a （提示：原式=a（b2-c2+4c-4） =a（b2-c2+2b-2b+2c+2c-4） =a[（b-c）（b+c）-2（b-c）+2（b+c）-4] =a[（b-c）+2][（b+c）-2]．） 三.因式分解的规律总结与提升 (1)先提公因式； (2)二项式可用平方差，立方和，立方差等； (3)三项式 ①先用完全平方公式； ②二次三项式可用十字相乘或求根公式法； ③高次时可用拆补项法； (4)四项或四项以上多项式可用分组法． ①分组时，可按一个字母分组； ②按两个字母整理； ③等项分组或按公式分组． 四.能