数形结合思想在数学教学中重要性[郝仲云].docVIP

数形结合思想在数学教学中的重要性 府谷县孤山学校 郝仲云 内容摘要： “数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西。它们既分别发展着，同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的向前发展。 关键词： 数形结合 观察和理解 本质联系 方法 中学数学教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握好数学思想和方法。人们在当前的数学教学中,普遍认识到加强数学思想方法教学的重要性.因为这些数学思想方法不像数学解题方法那样具体和便于操作,但对于数学知识和数学基本方法起着观念性的指导作用,是更高层次的概括和提炼,是培养学生能力的重要环节.因此,这些数学思想方法,在教学教学中,更应认真贯彻. 数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯串始终的是数学思想和数学方法。在中学数学里所接触到的一些思想方法中，数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种。著名数学家华罗庚指出：“数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西。它们既分别发展着，同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的向前发展。.所谓数形结合,其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.教师要尽量发掘数与形的本质联系,促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题,解决问题,从而提高学生的数学能力,这里仅就中学数形结合思想谈一谈相关的一些问题。 一、利用数轴解一元一次不等式组是数形结合的简单例子 组成一元一次不等式组的各个不等式的解集容易求出，然后把各 个不等式的解集（数）在数轴（形）上表示出来，一经观察，解集即得。充分显示出数形结合思想方法的优越性。 分析：两个不等式的解集分别为x＜1、x＞2.在数轴上表示两个不等式的解集，可以看出没有公共部分，故知原不等式组无解。 二、十字相乘法也是数形结合思想的体现 因式分解的常用方法——十字相乘法，实际上是借助十字交叉线分解系数。建立的十字交叉线图既直观，又易于比较系数之间的关系，尤其是方便调整因数（式），使之达到和谐的系数统一，完成因式的分解。 例2 分解因式x2+5xy+6y2+x+3y. 解：x2+5xy+6y2+x+3y =（x+3y）（x+2y+1） 三、求极值问题中的数形结合 许多代数极值问题，潜在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，画一个图形给问题的几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系。启发思维，难题巧解。 值=________. 分析：这道题初看，似乎无从下手。若用数形结合方法，构造几何图形（如图）。AB=m+n=3，AD=BE=2，∠ CAD=∠ CBE=90°。要求S的最小值，即变成求CD+CE的最小值。很显然，只需D、C、E成一直线，即得解。这时C为AB的中点，S=5。 四、函数中，解二元一次方程组反映了函数思想，同时也渗透了数形结合的思想 分析与解：由① 得y=x-5 ① 在同一坐标系中作出直线y1=x-5及y2=3-x.直线y1、y2交点p（4，-1）的横坐标、纵坐标分别为x、y的值，所以方程组的解为 五、在二次函数方面的应用 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间有着密切的联系。于是许多一元二次方程问题通过二次函数图象来解决。 例5 如果方程x2+2ax+a2-a+5=0的两实根在方程x2+2ax+a2+a-7=0的两实根之间，试求a的取值范围。 分析：函数y1=x2+2ax+a2-a+5，y2= x2+2ax+a2+a-7的图象都是开口向上且形状相同又有公共对称轴的抛物线，把问题归结为两条抛物线顶点的纵坐标间关系问题，同时要考虑顶点与x轴的位置关系。满足题设条件是抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标。 解得5≤a＜6. 六、构造图形，证明代数不等式 许多代数不等式，用初中代数知识去证有点力所不能及，若构造成几何图形，则问题迎刃而解。 分析：本例证法虽有很多，但若用几何图形面积去证，则更能看清问题的实质。 证明：利用a、b、m构造矩形（如图）。 s1+s2=m （a+m）， s2+s3＝m（b+m）， ∵ a＜b，∴ s1+s2＜s2+s3， ∵ s1＜s3，s1+s4＜s4+s3， 而s1+s4＝a（m+b），s4+s3=b（m+a） ∴ a（m+b）＜b（m+a） 七、几何问题的代数化 以上所举例子都是数量关系问题转化成图形性质来讨论的，能否合理运用“形”向“数”的转化或变更的策略来解决一些几何问题呢？下面举一例来说明。 例7 如图，过正方形ABCD的顶点C任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。求证：AE+AF≥4AB。 分析：这是“形”的问题，但要直接从“形”入手很棘手。引导学生将