付星020806-用matlab模拟小球撞碗的运行轨迹_理论力学.docVIP

用MATLAB 模拟小球撞碗的运行轨迹 仪21 付星 020806 关键词：斜抛，小球撞碗，MATLAB模拟 参考书目：彭芳麟. 理论力学计算机模拟. 清华大学出版社. 2002 《力学与实践》编辑部. 力学小问题一百例. 大连工学院出版社. 1986 引言：实际工程中，通过弹性和速度等因素对物体筛选是一个很常见而且重要的问题。下面通过对“小球撞碗”的分析来探讨一下这个问题。 一、问题的提出： 一个小球由空间一点P自由下落并落入半径为R的半球形碗内，它与碗壁之间的恢复系数为e，讨论：小球初始时位于何区域内，才能经过一次碰撞后弹出碗外？ 二、讨论： 1、问题的实质：小球的运动轨迹——小球与碗接触后将做斜抛运动。 2、建模：将碗近似看作一个半球体。 空间的运动问题可以转化为平面问题考虑。在碗口所在平面上，任取碗口圆的一条直径，过碗底作平行于这条直径的直线为x轴，以过碗口圆心的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系。小球的运动实际上是在xoy平面上进行。 假设碗面光滑，且碗被固定。那么小球能否只经过第一次碰撞就弹出碗外，只与四个参数有关。 初始时小球的横坐标 纵坐标 碗的半径 恢复系数 3、推导 设碗的半径为R，小球的初始高度H，与圆心的水平距离为r， 则小球与碗接触时的速度, 落点纵坐标, 夹角有如下关系： , 得到反弹速度: x向： y向： 小球到达碗的边沿所用时间： 这时的高度： 只有 时，小球才能只经过一次碰撞就弹出碗外。 三、MATLAB仿真 我用MATLAB编了一个小程序模拟小球的运动轨道。程序运行时，键入上面讨论的四个重要参数r、H、R、e的数值，就可以得到小球的运行轨迹。 例如：键入r=－0.02（m）, H＝0.2（m），R＝0.1(m)，e=1，得到下图。 很明显，这时小球经过第一次碰撞就弹出碗外，而且弹出瞬间远高于碗的上沿。 下面看看四个重要参数的影响。 （1）小球的恢复系数的大小起着举足轻重的作用。为了说明这一点。 保持r，H，R数值不变，将e以0.1的间隔由1降至0.1, 模拟结果如下： 从图上看出，e越大，小球弹出的可能越大。0.6时，小球已不能弹出。 （2）r的影响 令e=1，H＝0.2，R＝0.1, 改变r的值，以0.01为间隔，由－0.01降至-0.07得到下图。 显然小球初始落点在水平方向越接近碗口的圆心，小球越有可能经过第一次碰撞就弹出碗外。 （3）H的影响 保持e=1，r=－0.02，R＝0.1, 令H分别取值0.2，0.015，0.01，0.005，模拟结果如下： 结论：H越大，小球越有可能弹出。这一点凭日常经验就可得出。 （4）R与r是相对的。只改变R的情形与只改变r在本质上是相同的，这里不作专门讨论。 四、小结 以上就是我的分析过程和MATLAB的模拟结果。由于这是我第一次接触MATLAB，开始不是很适应，走了一些弯路。虽然最后编出的程序也只有三十几行，但在学习的过程中的确花费了不少时间和精力。当然，我认为这是值得的。 对小球撞碗问题的讨论远没有结束，我还有一些想法来不及在论文中阐述和分析，我决定在寒假中利用充裕的时间来仔细地研究。 一些准备研究的问题： 如何推导出一个确定的式子来描述小球的初始位置区域？ 如果小球经n次碰撞弹出碗外，需满足什么样的条件？ 如果碗不是固定的，而是可以滑动和转动，情况又将如何？ 如果小球在下落时并不是平动，而是边下落边绕自身轴转动，应怎样分析？ 附1： 学期小结 理论力学课给我的感觉非常好，我从中的收获很大。 第一，课好。 理论力学以分析力学为指导思想，研究的主体是刚体，而以前的力学主要研究的是质点的性质。刚体比质点更接近生活实际。.理论力学更接近客观世界。同时在分析和解题的过程中，理论力学更注重程序化，而淡化个人色彩。 理论力学的思维和运作模式是：首先通过观察生活实际，生产实践，总结出力学最基本规律，接着将现实生活模型抽象化建立力学模型，简化了问题，而且更抓住了事物本质。最后将理论力学应用于实践， 第二，人好。 张老师讲课很有感染力。他通过生动的语言和事例带着大家一步步走入理论力学这个多彩的世界，他那带有启发性的提问让我们在潜移默化中摸到了分析问题的思路，而充裕的思考时间和课堂上自由、活跃的师生交流更提高了我们上课的积极性。理论力学课是进入清华以来我最喜欢上的一门课，因为我走进教室，在位子上坐下，接下来要面对的不是知识的灌输和照本宣科的讲解，而是有趣的例题分析、轻松幽默的课堂讨论、游戏般的课堂氛围和自始至终的好心情。 附2：论文中用到???MATLAB小程序（大家如果感兴趣不妨上机操作一下） %%program