解析几何中焦点相关的常用结论.doc.doc

第  PAGE 5 页 共  NUMPAGES 5 页 解析几何中焦点相关的常用结论 解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。 结论1、焦半径公式： F1 F2 图1 10 设P是椭圆上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|的长分别为a±ex0。其中a为长半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标（图1）。 20 设P是双曲线上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|的长分别为ex0±a。其中a为实半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标。 证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P到左准线的距离为d，则d=x0+,由第二定义得=e，∴|PF1|=d·e= (x0+)·e= e x0 +a。同理可证|PF2|= a－e x0。 图2 结论2、以抛物线y2=2px (p0)的焦半径|PF|为直径的圆（⊙C）与y轴相切（图2）。 证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P1、C1、F1，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离|CC2|=，而|PF|=|PP1|=|PP2|+|P2P1|=|PP2|+|FO|，∴|CC2|=，即点C到y轴的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与y轴相切。 结论3、以抛物线y2=2px (p0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。 证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、B2，C2，则C到l轴的距离|CC1|=，由第二定义得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴|AA1|+|BB1|=|AB|，∴|CC1|=，即点C到准线l的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与准线相切。 图3 当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x－),代入抛物线得4k2x2－4p(k2+2)x+k2p2=0,设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韦达定理得x1x2=为定值；而|y1y2|=·==2p·=p2. ∴y1y2=－p2。 当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。 结论4、已知抛物线y2=2px (p0),过焦点F的弦的倾斜角为θ（θ≠0），且与抛物线交于A、B，则|AB|=；且当直线AB与x轴垂直时，|AB|min=2P（此时称弦AB为抛物线的通径）（图4）。 证明：同结论3，分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∴|AB|=|AA1|+|BB1|。 设A（x1,y1）,B(x2,y2),则|AA1|= x1+，|BB1|= x2+，∴|AB|= x1+ x2+p。 当θ≠900时，设直线AB的方程为y=tgθ(x－c),代入抛物线方程得： 图4 tg2θ·x2－(2p+ptg2θ)x+=0, x1+ x2=，∴|AB|=+p=。 当θ=900时，显然|AB|=2p,符合上式，∴|AB|=。 当θ=900时，|AB|min=2P，即为通径的长。 结论5、设AB是椭圆的焦点弦，则当AB垂直x轴时|AB|min=。 证明略。 想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？ 结论6、过抛物线y2=2px (p0)的焦点F作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积S=。 证明：由结论4得|AB|=，点O到直线AB y=tgθ(x－)的距离为 d==·|sinθ|。 ∴S△AOB=···|sinθ|=。 结论7、P为双曲线上一点，F1、F2为两焦点，且∠F1PF2=α（0απ）,则 F1 F2 图5 S△F1PF2=b2·ctg（图5）。 证明：设|PF1|=m, |PF2|=n，则， 由（1），两边平方，得m2+n2－2mn=4a2,∴m2+n2=2mn+4a2,代入（2）得2mn+4a2－2mncosα=4c2, ∴mn=。 ∴S△F1PF2=·mn·sinα=··sinα= b2·ctg。 结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF=。 证明略。 结论9、设P是椭圆上的一动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当P位于短轴端点时，∠F1PF2取到最大值。 证明：设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n，则m+n=2a,在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=,而m2+n2=(m+n)2－2